1. (2024高三下·云南模拟)  如图甲所示，按压式圆珠笔可以简化为外壳、内芯和轻质弹簧三部分。某按压式圆珠笔内芯的质量为m，外壳的质量为4m，外壳与内芯之间的弹簧的劲度系数为k。如图乙所示，先把笔竖直倒立于水平硬桌面上，用力下压外壳使其下端接触桌面（如位置a），此时弹簧的压缩量 ， 然后将圆珠笔由静止释放，弹簧推动圆珠笔外壳竖直上升，经过时间t外壳的速度达到最大，且此时外壳与内芯发生碰撞（碰撞时间极短），碰后内芯与外壳以共同的速度一起上升到最大高度处（如位置c）。已知弹簧弹性势能的计算公式为 ， x为弹簧的形变量，不计空气阻力与一切摩擦。

1. （1） 当弹簧的压缩量为多少时，外壳的速度达到最大？外壳的最大速度为多少？
3. （2） 外壳与内芯碰撞前，弹簧对外壳的冲量为多大？
5. （3） 圆珠笔外壳下端离开桌面的最大高度是多少？