已知直线过点且与圆：交于，两点，过的中点作垂直于的直线交于点，记的轨迹为曲线.

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1. (2023高二下·湖南期末) 已知直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 作垂直于 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程
3. （2）设曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点分别为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .请判断 $\text{[math]}$ 的面积是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.

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