已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数．

1. (2022高一上·新化期末) 已知实数 $\text{[math]}$ ，定义域为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数．
1. （1）求实数 $\text{[math]}$ 值；
3. （2）判断该函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性并用定义证明；
5. （3）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立．若存在，求出实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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1. (2022高一上·新化期末) 已知实数 ， 定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数．