备考2024年中考数学重难创新题1 方程（组）

更新时间：2024-05-05 浏览次数：46 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2020九上·萧山开学考) 规定：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x²+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x²+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象上，则关于x的方程mx²﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）

A . ② B . ①③ C . ②③④ D . ②④

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二、综合题

2. (2015八下·杭州期中) 如果方程x²+px+q=0的两个根是x₁ ， x₂ ，那么x₁+x₂=﹣p，x₁•x₂=q，请根据以上结论，解决下列问题：
1. （1）若p=﹣4，q=3，求方程x²+px+q=0的两根．
2. （2）已知实数a、b满足a²﹣15a﹣5=0，b²﹣15b﹣5=0，求 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知关于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
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三、实践探究题

3. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组 $\text{[math]}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5，③
把方程①代人③得：2x3+y=5，∴y=-1．
把y=-1代人①得x=4，∴方程组的解为 $\text{[math]}$
请你解决以下问题：
1. （1）模仿小军的“整体代换"法解方程组 $\text{[math]}$
2. （2）已知x，y满足方程组 $\text{[math]}$
  ①求x²+4y²的值．
  ②求 $\text{[math]}$ 的值．
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4. (2021七下·芝罘期中) 阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组 $\text{[math]}$ 小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为 $\text{[math]}$ ，解的 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ 所以，原方程组的解为 $\text{[math]}$ ．
请你参考小明同学的做法解方程组：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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5. 在解方程组 $\text{[math]}$ 时，明明采用了一种“整体代换”的解法.
解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5.③
把①代入③，得2×3+y=5，解得y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴方程组的解决为 $\text{[math]}$
请用“整体代换”法解下列方程组：
1. （1） $\text{[math]}$ 。
2. （2） $\text{[math]}$
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6. 善于思考的小明在解方程组 $\text{[math]}$ 时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程8x+22y=10变形为2（4x+10y）+2y=10.③
把方程①代入③，得2×6+2y=10，解得 y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴原方程组的解为 $\text{[math]}$
请你运用“整体代换”的思想解决下列问题：
1. （1）解方程组 $\text{[math]}$
2. （2）已知x，y，z满足 $\text{[math]}$ 试求 z 的值.
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7. (2023七下·莆田月考) 阅读材料：善于思考的小军在解方程组 $\text{[math]}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形： $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ③，

把方程①代入③得： $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

把 $\text{[math]}$ 代入①得 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 方程组的解为 $\text{[math]}$ ．

请你解决以下问题：
1. （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足方程组 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
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8. (2023九上·湖南月考) 【引入命题】设 $\text{[math]}$ 是关于字母 $\text{[math]}$ 的一个整式，若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则整式 $\text{[math]}$ 必有一个因式 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .其中 $\text{[math]}$ 仍然是关于字母 $\text{[math]}$ 的一个整式.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的一个根是；
2. （2）【回归课本】设一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方程可化为： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  利用上式结论解题：已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，且 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）【探究引申】设一元三次方程 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则原方程可化为： $\text{[math]}$ ，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  利用上式结论解题：已知方程 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
4. （4）【拓展提高】利用以上规律探究：若方程 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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9. (2023九上·忻州期中) 阅读与思考：
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
1. （1）材料理解：若一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）类比应用：已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）思维拓展：已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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10. (2023九上·长沙开学考) 著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜.
【提出问题】

我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？

【构造关系】

将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照 $\text{[math]}$ 的比例放大或缩小，其中 $\text{[math]}$ ，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为 $\text{[math]}$ .
1. （1）当系变倍数为3时，求解一元二次方程 $\text{[math]}$ 的“系变方程”.
2. （2）【自能探究】已知某一元二次方程有两个实数根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，其“系变方程”也有两个实数根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
3. （3）已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有四个实数根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，问是否存在定值 $\text{[math]}$ ，对于任意实数 $\text{[math]}$ ，都满足 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值.若不存在，请说明理由.
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11. (2020九上·顺昌月考) 阅读材料：
材料1：若一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x₁、x₂ ，则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．

材料2：已知实数m、n满足m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n，求 $\text{[math]}$ 的值．

解：由题知m、n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1．

∴ $\text{[math]}$ ．

根据上述材料解决下面的问题：
1. （1）一元二次方程x²-4x-3=0的两根为x₁、x₂ ，则x₁+x₂=4，x₁x₂=；
2. （2）已知实数m，n满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且m≠n，求m²n+mn²
  的值；
3. （3）已知实数p，q满足p²=3p+2，2q²=3q+1，且p≠2q，求p²+4q²的值．
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12. (2019九上·揭阳月考) （换元思想）阅读材料：
材料1 若一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

材料2 已知实数m、n满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

解：由题知m、n是方程 $\text{[math]}$ 的两个不相等的实数根，根据材料1，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

∴ $\text{[math]}$ .

根据上述材料解决下面的问题：
1. （1）一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根为x₁ ， x₂ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知实数p，q满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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13. (2019九上·大田期中) 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x²+px+q＝0的两个根是x₁ ， x₂ ，那么由求根公式可推出x₁+x₂＝﹣p ， x₁•x₂＝q ，请根据这一结论，解决下列问题：
1. （1）若α，p是方程 $\text{[math]}$ 的两根，则α+β＝，α•β＝；若2，3是方程 $\text{[math]}$ 的两根，则m＝，n＝；
2. （2）已知a ， b满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知a ， b ， c满足 $\text{[math]}$ ，求正整数 $\text{[math]}$ 的最小值，
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14. (2018九上·桥东期中) 已知：a、b、c均为非零实数，且a>b>c，关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （a≠0）其中一个实数根为2。
1. （1）填空：4a+2b+c0，a0，c0（填“>”，“<”或“=”）；
2. （2）若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （a≠0）的两个实数根，满足一个根为另一个根的2倍，我们就称这样的方程为“倍根方程”，若原方程是倍根方程，则求a、c之间的关系。
3. （3）若a=1时，设方程的另一根为m（m≠2），在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是7，求b的取值范围.
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15. (2016九上·连州期末) 先阅读，再回答问题：如果x₁、x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x₁+x₂ ， x₁x₂与系数a、b、c的关系是：x₁+x₂= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，例如：若x₁、x₂是方程2x²﹣x﹣1=0的两个根，则x₁+x₂=﹣ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．若x₁、x₂是方程2x²+x﹣3=0的两个根．
1. （1）求x₁+x₂ ， x₁x₂；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
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