在初中数学教材中有这样一个基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图1,直线 , 直线m和直线n分别与直线
和直线
相交于点A,点B,点F,点D,直线m和直线n相交于点E,则
;
【探究发现】
如图2,在中,
,
, 点D在边
上(不与点B,点C重合),连接
, 点E在边
上,
.
如图①,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形的一个顶点,
交AB于点E,
交BC于点F,则AE与BF的数量关系为;
受图①启发,兴趣小组画出了图③:直线m、n都经过正方形ABCD的对角线交点O,直线m分别与AD、BC交于点E、F,直线n分别与AB、CD交于点G、H,且m⊥n,若正方形ABCD边长为8,求四边形OEAG的面积;
受图②启发,兴趣小组画出了图④:正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,顶点E在BC的延长线上,且BC=6,CE=2.在直线BE上是否存在点P,使得△APF为直角三角形?若存在,求出BP的长度;若不存在,说明理由.
已知:中,
.
.
求作:正方形 .
作法:如图,
⒈以点A为图心.长为半径作弧;
⒉以点C为圆心,长为半径作弧;
⒊两弧交于点D,点B和点D在异侧;
⒋连接 ,
, 所以四边形
是正方形.
证明:∵ ▲ ,
▲ ,
∴四边形是平行四边形.( )(填推理的依据)
∵ ,
∴四边形是矩形.( )(填推理的依据)
又∵ ,
∴四边形是正方形.( )(填推理的依据)
②若 , 求
的长.