综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形中，点是线段的中点，将将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．同学们通过小组合作，提出

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1. (2020九上·浑源期末) 综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题
问程情境：

已知正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，将将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转得到正方形 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．
1. （1）特例分析：
  “乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点 $\text{[math]}$ 旋转过程中，顺次连接点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得到四边形 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；
3. （2） “善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上时，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．
5. （3）深入探究：
  “好问”小组提出问题：如图3.若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的三等分点且 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 旋转的过程中当线段 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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山西省大同市浑源县2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷