华东师大版数学八（下）第15章分式单元测试培优卷

更新时间：2026-02-04 浏览次数：21 类型：单元试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

1. (2025八下·榕城期末) 若分式方程 $\text{[math]}$ 无解，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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2. (2025八上·廊坊月考) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 0

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3. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值等于

A . 6 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2025九上·上城开学考) 当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…、﹣2、﹣1、0、1、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、…、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 时，计算分式 $\text{[math]}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于（）

A . ﹣1 B . 1 C . 0 D . 2015

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5. (2025八上·台州月考) 若 $\text{[math]}$ 且a、b为正整数，当分式方程 $\text{[math]}$ 的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（）

A . 277 B . 240 C . 272 D . 256

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6. (2025九上·成都期中) 人们把 $\text{[math]}$ 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的 $\text{[math]}$ 法就应用了黄金分割数．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 取正整数）， $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024七下·嘉兴月考) 当分别取“-2015，-2014，-2013，…，-2-1，0，1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，计算分式 $\text{[math]}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于（），

A . 2015 B . 1 C . 0 D . -1

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8. (2024·游仙模拟) 若关于 $\text{[math]}$ 的不等式组 $\text{[math]}$ 有且仅有3个整数解，且关于 $\text{[math]}$ 的分式方程 $\text{[math]}$ 的解是正数，则符合条件的所有整数 $\text{[math]}$ 的和为（）

A . 6 B . 8 C . 9 D . 10

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9. 甲、乙两个工程队分别承担一条 $\text{[math]}$ 公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路 $\text{[math]}$ ，另一半时间每天维修 $\text{[math]}$ ；乙队维修前 $\text{[math]}$ 公路时，每天维修 $\text{[math]}$ ，维修后 $\text{[math]}$ 公路时，每天维修 $\text{[math]}$ ，那么( )

A . 甲队先完成任务
B . 乙队先完成任务
C . 甲、乙两队同时完成任务
D . 不能确定哪个队先完成任务

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10. (2025七上·黄山期中) 下列说法中，正确的个数是（　　）
① 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
② 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是正数；
③ A、B.、C三点在数轴上对应的数分别是-2、x、6，若相邻两点的距离相等，则x=2；
④ 若代数式 $\text{[math]}$ 的值与 $\text{[math]}$ 无关，则该代数式的值为 $\text{[math]}$ ；
⑤ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ 。

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

11. 方程 $\text{[math]}$ 的解是.

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12. (2025七下·越城期中) 已知实数a，b，定义运算： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ -3)=1，则a=．

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13. (2025八下·成华月考) 若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的解为非负整数，关于 $\text{[math]}$ 的不等式组 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，则符合条件的所有整数 $\text{[math]}$ 的和为．

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14. (2024九下·长沙竞赛) 已知实数a，b，c满足不等式： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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15. 如图，标号为①②③④的长方形不重叠地围成长方形 $\text{[math]}$ ．已知①和②能够重合， ③和④能够重合，这四个长方形的面积均为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若代数式 $\text{[math]}$ 的值为 0 ，则 $\text{[math]}$

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16. (2024八下·宜宾月考) 二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了 $\text{[math]}$ ， C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 $\text{[math]}$ ，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为．

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三、解答题：本大题共10个小题，共102分。

17. (2025·西昌模拟) （1）解方程 $\text{[math]}$ ．
（2）先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

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18. (2026八上·龙马潭期末) 某客商准备采购一批特色商品，下面是甲、乙两人的一段对话：
1. （1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
2. （2）若该客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中 $\text{[math]}$ 型商品的件数不大于 $\text{[math]}$ 型商品的件数，且不小于78件，已知 $\text{[math]}$ 型商品的售价为240元/件， $\text{[math]}$ 型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式?
3. （3）在第(2)问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润.
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19. (2025八上·杭州期中) 根据以下信息，探索完成任务：

素材1	采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种型号的客车，其中 $\text{[math]}$ 型车每辆租金500元， $\text{[math]}$ 型车每辆租金400元
素材2	4辆 $\text{[math]}$ 型车和3辆 $\text{[math]}$ 型车坐满后共搭载200人，3辆 $\text{[math]}$ 型车和4辆 $\text{[math]}$ 型车坐满后共搭载185人．
素材3	该年级计划租用 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种型号的客车共20辆，且 $\text{[math]}$ 型车的数量不少于 $\text{[math]}$ 型车的数量的7倍．

问题解决：

（1）每辆 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 型车坐满后分别可以搭载几人？
（2）请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．
（3）若该年级准备只租用 $\text{[math]}$ 型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆 $\text{[math]}$ 型车？有多少名学生参加研学活动？

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20. (2025八下·朝阳开学考) 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将 $\text{[math]}$ 分式分解： $\text{[math]}$ ．
1. （1）将 $\text{[math]}$ 分式分解的结果为________；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 可以分式分解为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数），则 $\text{[math]}$ ________， $\text{[math]}$ ________；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并证明．
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21. (2025八上·南湖期中) 阅读材料：
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多．
糖水的甜度取决于糖水浓度（ $\text{[math]}$ ）．
小聪这杯糖水原来的浓度为 $\text{[math]}$ ，添加 $\text{[math]}$ 克糖后，糖水的浓度变成 $\text{[math]}$ ．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即 $\text{[math]}$ ．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？
——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料”
基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”．
1. （1）【特例验证】假设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _____ $\text{[math]}$ ．（填“ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ”）
2. （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论．
3. （3）【应用拓展】若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 三边的长，证明： $\text{[math]}$
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22. (2025八下·乐山期末) 对于正数 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ．请解答下列问题．
1. （1）计算： $\text{[math]}$ ；
2. （2）计算： $\text{[math]}$ ；
3. （3）探究是否存在正数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 成立，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值．
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23. (2025八上·三台期末) 在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个 $\text{[math]}$ 分子模型与1个 $\text{[math]}$ 分子模型，制作一个A， $\text{[math]}$ 分子模型需要的小球、塑料管数量分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半．
1. （1）制作一个 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？
2. （2）李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个 $\text{[math]}$ 模型和一个 $\text{[math]}$ 模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题）
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24. (2025七下·嵊州期末) 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；......
1. （1）根据上面的规律，猜想 $\text{[math]}$ 的解为；
2. （2）利用(1)中的结论，将方程 $\text{[math]}$ 变形为 $\text{[math]}$ 的形式并求解；
3. （3）解方程： $\text{[math]}$ .
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25. 如图①， “丰收1号”小麦试验田是边长为 a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a-1)m的正方形.两块试验田的小麦都收获了 500 kg.
1. （1） ①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m² ， “丰收2 号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m² ， ▲ 小麦试验田的单位面积产量高；
  ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
2. （2）在试验田四周(图②虚线部分)修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a 的值.
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26. 2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积 $\text{[math]}$ 平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
1. （1）乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
2. （2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
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