江苏省南通市2017-2018学年高二上学期数学期中考试试卷

更新时间：2017-12-22 浏览次数：305 类型：期中考试

一、<b >填空题</b>

1. 命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．

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2. 在等差数列{a_n}中，a₁=﹣1，a₄=8，则公差d=．

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3. 抛物线x²=2y的准线方程是．

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4. 命题“若实数a满足a≤2，则a²≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）

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5. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点P在双曲线上，且PF₁=4，则PF₂的长为．

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6. 已知等差数列{a_n}的公差为2，且a₂是a₁和a₅的等比中项，则a₃的值为．

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7. 设{a_n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a_2n_﹣1+a_2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件”）

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8. 设F₁ ， F₂是椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF₂的中点，若MF₁⊥AF₂ ，则该椭圆的离心率为．

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9. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，若 $\text{[math]}$ =2，S₄=4，则S₈的值为．

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10. 已知F是抛物线C：y²=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．

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11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．

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12. 已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，a₃=10，若{a_n+1﹣a_n}是等比数列，则 $\text{[math]}$ _i=．

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13. 已知P为椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1上的动点，M，N为圆（x﹣2）²+y²=1上两点，且|MN|= $\text{[math]}$ ，则| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |的取值范围是．

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14. (2017高三上·盐城期中) 设数列{a_n}共有4项，满足a₁＞a₂＞a₃＞a₄≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N^*），a_i﹣a_j仍是数列{a_n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a_n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia_i=ja_j；③数列{a_n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）

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二、<b >解答题</b>

15. 命题p：方程 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x²+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．

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16. 设等差数列{a_n}的前n项和为S，a₂+a₆=20，S₅=40．
1. （1）求{a_n}的通项公式；
2. （2）设等比数列{b_n}满足b₂=a₃ ， b₃=a7．若b₆=a_k ，求k的值．
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17. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）与双曲线 $\text{[math]}$ ﹣y²=1有相同的焦点F₁ ， F₂ ，抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若|MF₁|+|MF₂|=2 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）若|MF|= $\text{[math]}$ ，求抛物线的方程．
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18. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足S_n=2﹣a_n（n∈N*）．数列{b_n}满足（2n﹣1）b_n+1﹣（2n+1）b_n=0（n∈N*），且b₁=1．
1. （1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
2. （2）设c_n=a_n•b_n ，求数列{c_n}的前n项和为T_n ．
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19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k₁ ．
1. （1）若点Q的坐标为（1， $\text{[math]}$ ），求椭圆C的方程；
2. （2）求证：k₁k为定值；
3. （3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2 $\text{[math]}$ ，求椭圆C的方程．
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20. 已知数列{a_n}的首项a₁=a（a＞0），其前n项和为S_n ，设b_n=a_n+a_n+1（n∈N*）．
1. （1）若a₂=a+1，a₃=2a₂ ，且数列{b_n}是公差为3的等差数列，求S_2n；
2. （2）设数列{b_n}的前n项和为T_n ，满足T_n=n² ．
  ①求数列{a_n}的通项公式；
  ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a_n﹣1）（a_n+1-1）≥2（1﹣n）恒成立，求a的取值范围．
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