2024中考数学考前20天终极冲刺专题之二次函数

更新时间：2024-05-21 浏览次数：81 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2023·自贡) 经过 $\text{[math]}$ 两点的抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自变量）与 $\text{[math]}$ 轴有交点，则线段 $\text{[math]}$ 长为（）

A . 10 B . 12 C . 13 D . 15

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2. 如图是小颖家门口的路灯示意图， $\text{[math]}$ 为垂直于地面的竖直灯杆(点 $\text{[math]}$ 在地面上)，灯杆顶端 $\text{[math]}$ 与灯泡 $\text{[math]}$ 之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点 $\text{[math]}$ ，竖直灯杆 $\text{[math]}$ 的高度为 $\text{[math]}$ ，灯泡 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的水平距离为 $\text{[math]}$ ，则灯泡 $\text{[math]}$ 到地面的高度为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·乐山) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④若点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，则 $\text{[math]}$ ．其中，正确的结论有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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4. (2024·宁波模拟) 已知ac≠0，若二次函数y₁＝ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0），二次函数y₂＝cx²+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x₃ ， 0），D（x₄ ， 0），则（　　）

A . x₁+x₂+x₃+x₄＝1 B . x₁x₂x₃x₄＝1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·牡丹江) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③若抛物线上有点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中正确的个数是（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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6. 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为 $\text{[math]}$ 与x轴的一个交点位于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点之间．下列结论：其中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则 $\text{[math]}$

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7. 函数 $\text{[math]}$ 的图象是由函数 $\text{[math]}$ 的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④图象向上平移2个单位后与直线 $\text{[math]}$ 有3个交点．

A . ①② B . ①③④ C . ②③④ D . ①③

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8. 已知 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的二次函数 $\text{[math]}$ ，下列结论中，正确的序号是（）
① 当 $\text{[math]}$ 时，函数图象的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时，函数图象总过定点；③当 $\text{[math]}$ 时，函数图象在 $\text{[math]}$ 轴上截得的线段的长度大于 $\text{[math]}$ ；④若函数图象上任取不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ ，函数在 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，一定能使 $\text{[math]}$ 成立．

A . ①② B . ①③④ C . ①②③ D . ①②③④

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9. (2024·攀枝花模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径在 $\text{[math]}$ 轴上方画半圆交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，圆心为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．下列四种说法：
$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上；
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ 沿半圆从点 $\text{[math]}$ 运动至点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 运动的路径长为 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 线段 $\text{[math]}$ 的长可以是 $\text{[math]}$ ．
其中正确说法的个数为( )

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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10. (2023九上·上城期中) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S₁ ， S₂ ， △ABC面积记为S₃ ，当S₁+S₂＝6S₃时，b的值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 若关于x的方程 $\text{[math]}$ 恰有三个根，则t的值为.

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12. (2024·浙江模拟) 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，过 $\text{[math]}$ 轴上点 $\text{[math]}$ 作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 面积的最小值为．

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13. (2021九上·黄冈月考) 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为.

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14. (2024九下·江夏月考) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，且与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，下列结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$
其中正确的有．（填写正确的序号）

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三、解答题

15. (2024·恩施模拟) 已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元.经市场调查发现，甲种玩具每天的销量 $\text{[math]}$ （单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为 $\text{[math]}$ ，乙种玩具每天的销量 $\text{[math]}$ （单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表：
每件售价z（单位：元）
…
20
25
30
…
销量 $\text{[math]}$ （单位：件）
…
100
80
60
…
其中x ， z均为非负整数.商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价．
1. （1）直接写出乙种玩具每天的销量 $\text{[math]}$ 与每件售价z的关系式是；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是；
2. （2）当甲种玩具总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？
3. （3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格．
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16. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡 $\text{[math]}$ 的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线 $\text{[math]}$ 的城墙 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D ， A ， B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙 $\text{[math]}$ ．
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17. (2024·万山模拟) 排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在 $\text{[math]}$ 处将球垫偏，之后又在A、 $\text{[math]}$ 两处先后垫球，球沿抛物线 $\text{[math]}$ 运动（假设抛物线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一平面内），最终正好在 $\text{[math]}$ 处垫住， $\text{[math]}$ 处离地面的距离为1米．如图所示，以 $\text{[math]}$ 为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系， $\text{[math]}$ 轴平行于地面水平直线 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 表达式为 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ 表达式为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
2. （2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
3. （3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处 $\text{[math]}$ 离地面的高度至少为多少米？
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18. (2024九下·江夏月考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ ，若抛物线与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的函数表达式；
2. （2）如图1，若点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交轴于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标；
3. （3）如图2，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的正下方，连接 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交对称轴于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小．
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四、实践探究题

19. (2024·深圳模拟) 综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y （m）与水平距离x （m）满足二次函数的关系.
1. （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
  水平距离x（m）
  0
  1
  1.5
  竖直高度y（m）
  10
  10
  6.25
  根据上述数据，求出y关于x的关系式；
2. （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
3. （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h （m）与时间t （s）之间满足h=-5t²+k .
  信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C 动作.
  问题解决：
  ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
  ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x （m）的关系为y =ax²-ax+10（a<0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C 动作，则a的取值范围是 ▲ .
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五、综合题

20. (2016九上·乐昌期中) 在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
1. （1）若丝绸花边的面积为650cm² ，求丝绸花边的宽度；
2. （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
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21. (2022·澄城模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过坐标原点O与点 $\text{[math]}$ ，正比例函数 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求该抛物线的函数表达式；
2. （2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点N，交 $\text{[math]}$ 于点M，是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ 与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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22. (2023·永嘉模拟) 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计跳长绳方案
素材1	图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2	某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．
问题解决
任务1	确定长绳形状	在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2	探究站队方式	当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3	拟定位置方案	为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．