安徽省黄山市2024届高三下学期第一次质量检测（一模）数学

更新时间：2024-05-07 浏览次数：17 类型：高考模拟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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3. 已知 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为公比的等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 2024年是安徽省实施“ $\text{[math]}$ ”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知向量 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 过点 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切的两条直线的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线平行的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，双曲线 $\text{[math]}$ 离心率的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共面 B . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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10. 下列说法正确的有（）

A . 若线性相关系数 $\text{[math]}$ 越接近 $\text{[math]}$ ，则两个变量的线性相关性越强 B . 若随机变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若样本数据 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的方差为 $\text{[math]}$ ，则数据 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的方差为 $\text{[math]}$ D . 若事件 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 奇函数 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ 的值为．

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13. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为．

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14. 记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，其外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ 大小为，若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

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四、解答题：本题共5小逐，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取值得极大值．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值．
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16. 某校高三年级 $\text{[math]}$ 名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求图中 $\text{[math]}$ 的值，并根据频率分布直方图，估计这 $\text{[math]}$ 名学生的这次考试数学成绩的第 $\text{[math]}$ 百分位数；
2. （2）从这次数学成绩位于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取 $\text{[math]}$ 人，再从这 $\text{[math]}$ 人中随机抽取 $\text{[math]}$ 人，该 $\text{[math]}$ 人中成绩在区间 $\text{[math]}$ 的人数记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望．
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17. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的正弦值．
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18. 设点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）求椭圆 $\text{[math]}$ 的外切矩形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 的最大值．
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19. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的一阶差分数列，其中 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的二阶差分数列，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，试判断数列 $\text{[math]}$ 是否为等差数列，请说明理由？
2. （2）数列 $\text{[math]}$ 是以1为公差的等差数列，且 $\text{[math]}$ ，对于任意的 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为常数列，对满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的任意正整数 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，且不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值．
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