吉林省长春市名校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

更新时间：2023-12-29 浏览次数：24 类型：期中考试

一、单选题（每题5分）

1. 若直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量为 $\text{[math]}$ ，则该直线的倾斜角大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 2或 $\text{[math]}$

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3. 2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为 $\text{[math]}$ ，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为 $\text{[math]}$ ，远地距离为 $\text{[math]}$ ，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 分别是双曲线左右焦点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 9或1 B . 1 C . 9 D . 9或2

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5. (2023高二上·齐齐哈尔期中) 空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，经过点 $\text{[math]}$ ，且法向量为 $\text{[math]}$ 的平面方程为 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ 且一个方向向量为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，经过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 以及椭圆内一点 $\text{[math]}$ ，则以 $\text{[math]}$ 为中点的弦所在直线的斜率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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7. 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（每题5分）

9. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆的左右焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（）

A . 椭圆离心率为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知圆 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，则过点 $\text{[math]}$ 的圆的切线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . 曲线 $\text{[math]}$ 关于原点对称 C . $\text{[math]}$ 面积的最大值为2 D . $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

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12. 已知圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，切点分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则下列说法错误的是（）

A . 圆 $\text{[math]}$ 上恰有一个点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ B . 切线长 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . 四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值为2 D . 直线 $\text{[math]}$ 恒过定点 $\text{[math]}$

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三、填空题（每题5分）

13. 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于．

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14. 点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的点的坐标为．

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15. (2020高二上·大同期中) 已知点M（1，0）是圆C: $\text{[math]}$ 内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是．

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16. 已知点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上运动，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上运动，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的实轴长为2，右焦点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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18. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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19. 设直线 $\text{[math]}$ 及直线外一点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离公式；
2. （2）求证点到直线的距离公式．
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20. 已知两圆 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求两圆的公共弦所在直线的方程；
2. （2）求过两圆交点且圆心在直线 $\text{[math]}$ 上的圆的方程．
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21. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的一点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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22. 已知点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）上，设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的短轴的上、下顶点，点 $\text{[math]}$ 是椭圆上任意一点，且 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 的两焦点 $\text{[math]}$ 作两条相互平行的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的取值范围．
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