四川省成都市武侯区2023-2024学年高三上学期数学试卷

更新时间：2024-01-08 浏览次数：29 类型：期中考试

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则复数z的共轭复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022高二下·房山期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 15 B . -15 C . 10 D . -10

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5. 已知空间两不同直线m、n ，两不同平面 $\text{[math]}$ 、β ，下列命题正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ /且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若m不垂直于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则m不垂直于n

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6. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则关于函数 $\text{[math]}$ 以下说法正确的是（）

A . 最大值为1，图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 B . 周期为π，图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，为偶函数 D . 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，为奇函数

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7. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是BC边一点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，平面四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将其沿对角线BD折成四面体 $\text{[math]}$ ，使平面 $\text{[math]}$ 平面BCD ．四面体 $\text{[math]}$ 的顶点在一个球自上，则该球的不积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 有一个极值点，则k的取值此围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 动点P在以点C为圆心与BD相切的同上．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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12. 已知O为坐标原点，F是椭圆C： $\text{[math]}$ 的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点．P为C一点，且 $\text{[math]}$ 轴．过点A的直线l与线段PF交于点M ，与y轴交于点E ．若直线BM经过OE的中点，则C的离心当为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：（本大期共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线的倾斜角为．

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14. 点 $\text{[math]}$ 到双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线的距离为．

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15. 数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则在下列关系① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$ 中，能作为“ $\text{[math]}$ ”的必要不充分条件的是（填正确的序号）．

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三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 在 $\text{[math]}$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c﹐其外接圆半径为1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位： $\text{[math]}$ ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
1. （1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
2. （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 $\text{[math]}$ 的概率；
3. （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水?（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是边长为4的菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M、N分别是AB、CD的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面PAB；
2. （2）求四面体PMND的体积．
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20. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为F ，过抛物线上除原点外任一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M ，直线l是 $\text{[math]}$ 的角平分线．
1. （1）求直线l与抛物线 $\text{[math]}$ 交点的个数；
2. （2）直线l与抛物线的准线相交于点N ，过N作抛物线的切线，切点为Q（不与P点重合），求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的极值；
2. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围．
  请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑．
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22.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （t为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程和 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）若曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于两点A ， B ，点P是曲线 $\text{[math]}$ 上异于点A ， B的任意一点，求 $\text{[math]}$ 的面积S的最大值．
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23.
[选修4－5：坐标系与参数方程]
已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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