北京市海淀区名校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

更新时间：2024-03-10 浏览次数：33 类型：期中考试

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 如图， $\text{[math]}$ 分别是长方体 $\text{[math]}$ 的棱 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，则其准线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，已知四面体 $\text{[math]}$ 的所有棱长都等于 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点．则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别等于（）

A . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$

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5. (2021高二上·昌平期末) 设椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆于A、B两点，如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 10 C . 12 D . 14

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6. 抛物线 $\text{[math]}$ 上的点到其焦点的距离的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 4

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7. (2022·西城模拟) 若双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 到其渐近线的距离为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为面 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 若经过点 $\text{[math]}$ 的直线与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则 $\text{[math]}$ ．

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10. 已知平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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11. 已知两圆 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交，则圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的公共弦所在直线的方程为．

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12. 设 $\text{[math]}$ 分别是空间两直线 $\text{[math]}$ 的方向向量，则直线 $\text{[math]}$ 所成角的大小为．

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13. 已知 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 的一个法向量，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为．

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14. 设点 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，若使得 $\text{[math]}$ 成立的点恰好是4个，则实数 $\text{[math]}$ 的一个取值可以为．

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三、解答题（本大题共3小题，共30分）

15. 已知 $\text{[math]}$ 的三个顶点 $\text{[math]}$ ，求经过两边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点的直线的方程．

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16. 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为原点，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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17. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是矩形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值．
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四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

18. 在空间直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 四点共面，则 $\text{[math]}$ ．

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19. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线 $\text{[math]}$ 在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于 $\text{[math]}$ 两点．若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则双曲线的离心率为．

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20. (2022高二上·房山期中) 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在侧面 $\text{[math]}$ 上．若点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离相等，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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21. 在平面直角坐标系中，到两个点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离之积等于4的轨迹记作曲线 $\text{[math]}$ ，对于曲线 $\text{[math]}$ 及其上一点 $\text{[math]}$ ，有下列四个结论：
①曲线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称；
②曲线上有且仅有一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ；
③曲线 $\text{[math]}$ 上所有的点的横坐标 $\text{[math]}$ ，纵坐标 $\text{[math]}$ ；
④ $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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五、解答题（本大题共3小题，共34分）

22. 如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并给出证明．
  条件①： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点；
  条件②： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
  条件③： $\text{[math]}$ ．
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为1，求 $\text{[math]}$ 的长度．
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23. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，上、下顶点分别为 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点，点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．试判断 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
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24. $\text{[math]}$ 个有次序的实数 $\text{[math]}$ 所组成的有序数组 $\text{[math]}$ 称为一个 $\text{[math]}$ 维向量，其中 $\text{[math]}$ 称为该向量的第 $\text{[math]}$ 个分量．特别地，对一个 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 维信号向量．设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的内积定义为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
2. （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
3. （3）已知 $\text{[math]}$ 个两两垂直的2024维信号向量 $\text{[math]}$ 满足它们的前 $\text{[math]}$ 个分量都是相同的，求证： $\text{[math]}$ ．
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