一、选择题(本大题共16个小题,共38分.1~6小题各3分,7~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
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1.
如图,围绕在正方形四周的四条线段
,
,
,
中,长度最长的是( )
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2.
若方程
是关于
的一元二次方程,则“
”可以是( )
-
3.
如图,
为菱形
的对角线,若
, 则
的度数为( )
-
4.
一元二次方程
的解为( )
-
5.
菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A . 对角线互相垂直
B . 对边相等
C . 对角相等
D . 是中心对称图形
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6.
探索关于
的一元二次方程
的一个解的过程如下表所示:x
x | -3 | -1 | 1 | 4 |
| 0.06 | 0.02 | -0.03 | -0.07 |
可以看出该方程的一个解应介于整数和之间,则整数 , 分别是( )
A . ,
B . , 1
C . 1,4
D . 4,5
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7.
如图,在矩形
中,对角线
,
相交于点
, 如果
, 那么
的度数为( )
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8.
若关于
的一元二次方程
有一个解为1,则该方程的另一个解为( )
A . 0
B . 2
C . 3
D .
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-
10.
若一元二次方程
有两个不相等的实数根,则“
”所表示的数可以是( )
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A . ③①②④
B . ③②①④
C . ②③①④
D . ②①③④
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12.
某节数学课上,老师让学生解关于
的方程
, 下面是这三位同学的解答过程:
小逸 | 小明 | 小琛 |
两边同时除以 , 得 . | 整理得 , 配方得 , , , , . | 移项得 , , 或 , , . |
下列选项中,说法正确的是( )
A . 只有小明的解法正确
B . 只有小琛的解法正确
C . 只有小逸的解法错误
D . 小逸和小琛的解法都是错误的
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13.
如图,在平面直角坐标系
中,四边形
是正方形,已知点
的坐标为
, 则点
的坐标为( )
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14.
已知关于
的一元二次方程
有一个非零实数根
, 则
的值为( )
A . 1
B .
C . 0
D . 2
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15.
如图,矩形绿地的长为
, 宽为
, 将此绿地的长、宽各增加相同的长度后,绿地面积增加了
, 设绿地的长、宽增加的长度为
, 则下面所列方程正确的是( )
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16.
如图,把一张矩形纸片
按如下方法进行两次折叠:第一次将
边折叠到
边上得到
, 抓痕为
, 连接
,
, 第二次将
沿着
折叠,
边恰好落在
边上.若
, 则
的长为( )
二、填空题(本大题共3个小题,共10分.17小题2分,18~19小题各4分,每空2分)
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17.
把一元二次方程
化成
的一般形式,其中
, 则常数项
.
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18.
若关于
的一元二次方程
的两个根分别是
与
, 则
的值为
,方程的根为
.
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19.
如图,菱形
的对角线
,
相交于点
, 过点
作
于点
, 连接
.
-
-
三、解答题(本大题共7个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
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20.
嘉淇同学解方程
的过程如下表表示.
解方程: . 解: , ……第一步 , ……第二步 , . ……第三步 |
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(1)
嘉淇同学是用(“配方法”、“公式法”或“因式分解法”)求求解的,从第步开始出现错误.
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21.
如图,矩形
的对角线
,
相交于点
, 过点
作
的平行线交
的延长线于点
.
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(1)
求证:
.
-
-
22.
定义:如果关于
的一元二次方程
满足
, 那么我们称这个方程为“完美方程”.
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(1)
下面方程是“完美方程”的是
.(填序号)
① ② ③
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(2)
已知
是关于
的“完美方程”,若
是此“完美方程”的一个根,求
的值.
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23.
如图,在
中,
,
分别是边
,
上的点,连接
,
,
与
交于点
,
. 添加下列条件之一使
成为菱形:①
;②
,
.
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(2)
在(1)的条件下,若
,
的周长为4,求菱形的边长.
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24.
如图1,在
中,点
,
在对角线
上,
,
, 过点
作
交
的延长线于点
.
图1
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(1)
求证:四边形
是矩形.
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(2)
如图2,连接
,
当
时,判断四边形
的形状,并说明理由.
图2
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25.
某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶,在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现,每降价1元,每月多售出20顶,已知头盔的进价为每顶50元.
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(1)
若每顶头盔降价10元,则每月可销售顶头盔,每月销售利润为元.
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(2)
若商店为了减少库存,准备降价销售这批头盔,同时确保每月的销售利润为7500元,求头盔的销售单价.
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(3)
若降价销售这批头盔,每月的利润能否达到9000元?请说明理由.
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(2)
如图2,
为
延长线上一点,且
,
交
于点
. 判断
的形状,并说明理由.
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(3)
如图3,过点
作
交
的延长线于点
.
①求证: .
②若 , , 请直接写出的长.