北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题...

更新时间：2023-12-29 浏览次数：19 类型：期中考试

一、单选题

1. (2021高二上·石景山期末) 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知圆 $\text{[math]}$ ，则圆心 $\text{[math]}$ 与半径 $\text{[math]}$ 分别为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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3. 如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则与向量 $\text{[math]}$ 相等的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，则下列选项中能使 $\text{[math]}$ 成立的是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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6. 已知直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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7. 若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为原点），则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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8. 已知圆 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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9. (2023高二上·丰台期中) 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体 $\text{[math]}$ 的棱长为2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ，过动点 $\text{[math]}$ 分别作圆 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为切点），若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 已知直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 轴上的截距为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为.

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12. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为空间两两垂直的单位向量，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知圆 $\text{[math]}$ 上存在两个点到点 $\text{[math]}$ 的距离均为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的一个取值为.

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15. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是空间中任意一点.给出下列四个结论：
①若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则总有 $\text{[math]}$ ；
②若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积为定值；
③若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为定值；
④若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点的正方体截面面积的取值范围为 $\text{[math]}$ .
其中所有正确结论的序号为.

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三、问答题

16. 已知圆 $\text{[math]}$ .
1. （1）求经过点 $\text{[math]}$ 的圆 $\text{[math]}$ 的切线方程；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的弦长.
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17. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点.

条件①： $\text{[math]}$ ；
条件②：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.
  注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
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19. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ 的圆心在直线 $\text{[math]}$ 上，且半径为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若圆心 $\text{[math]}$ 也在直线 $\text{[math]}$ 上，求圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，若圆 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，求圆心 $\text{[math]}$ 的横坐标的取值范围.
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20. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
3. （3）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，指出点 $\text{[math]}$ 的位置并证明；若不存在，请说明理由.
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21. 在平面直角坐标系中，对于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的“折线距离”.
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ .
  （i）求坐标原点 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 上一点的“折线距离”的最小值；
  （ii）求圆 $\text{[math]}$ 上一点与直线 $\text{[math]}$ 上一点的“折线距离”的最小值.
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