广东省深圳重点学校高一2022-2023学年下册期中考试数学...

更新时间：2023-07-14 浏览次数：54 类型：期中考试

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 从正方体的 $\text{[math]}$ 个顶点上任取 $\text{[math]}$ 个顶点，则这 $\text{[math]}$ 个顶点构成的几何图形不可能是（）

A . 三个面是直角三角形的正三棱锥 B . 有一个面是钝角三角形的四面体 C . 每个面都是等边三角形的四面体 D . 每个面都是直角三角形的四面体

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5. 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，则一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若三角形有两解，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 过 $\text{[math]}$ 的重心 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 分别交线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为平面内任意三个非零向量，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的充要条件是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的充要条件是 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 已知复数 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的充要条件是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是纯虚数的充要条件是 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是纯虚数

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11. 在正四面体 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，下列结论正确的是（）

A . 正四面体的体积为 $\text{[math]}$ B . 正四面体外接球的表面积为 $\text{[math]}$ C . 如果点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 正四面体 $\text{[math]}$ 内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面 $\text{[math]}$ 上，上底圆面与面 $\text{[math]}$ 、面 $\text{[math]}$ 、面 $\text{[math]}$ 均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 $\text{[math]}$

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12. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是等腰三角形 D . $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为单位向量，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量为．

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14. 在复数范围内方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. 水平桌面上放置了 $\text{[math]}$ 个半径为 $\text{[math]}$ 的小球，它们两两相切，并均与桌面相切 $\text{[math]}$ 若用一个半球形容器 $\text{[math]}$ 容器厚度忽略不计 $\text{[math]}$ 罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为钝角，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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18. 已知半圆圆心为 $\text{[math]}$ 点，直径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为半圆弧上靠近点 $\text{[math]}$ 的三等分点，若 $\text{[math]}$ 为半径 $\text{[math]}$ 上的动点，以 $\text{[math]}$ 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的大小；
2. （2）试求点 $\text{[math]}$ 的坐标，使 $\text{[math]}$ 取得最小值，并求此最小值．
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19. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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20. 已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的侧棱长为 $\text{[math]}$ 和底面边长为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求正四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积和表面积；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．
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21. 正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，如图水平放置，盛有水深为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求玻璃容器的体积；
2. （2）将一根长度为 $\text{[math]}$ 的搅棒 $\text{[math]}$ 置入玻璃容器中， $\text{[math]}$ 的一端置于点 $\text{[math]}$ 处，另一端置于侧棱 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 没入水中部分的长度． $\text{[math]}$ 容器厚度，搅棒粗细均忽略不计 $\text{[math]}$
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22. 如图 $\text{[math]}$ ，某景区是一个以 $\text{[math]}$ 为圆心，半径为 $\text{[math]}$ 的圆形区域，道路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，修建的木栈道 $\text{[math]}$ 与道路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 围成三角地块 $\text{[math]}$ 注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，求木栈道 $\text{[math]}$ 长；
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，若景区中心 $\text{[math]}$ 与木栈道 $\text{[math]}$ 段连线的 $\text{[math]}$ ，求木栈道 $\text{[math]}$ 的最小值．
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