广东省茂名市2023届高三数学二模试卷

更新时间：2023-04-29 浏览次数：84 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 5

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3. (2018·浙江) 已知平面α ，直线m ， n满足m $\text{[math]}$ α ， n $\text{[math]}$ α ，则“m∥n”是“m∥α”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知平面 $\text{[math]}$ 内的动点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 变化时点 $\text{[math]}$ 始终不在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图所示，正三棱锥 $\text{[math]}$ ，底面边长为2，点Р到平面ABC距离为2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的 $\text{[math]}$ ，过点M作一个平面，使其平行于直线PB和AC，则这个平面与三棱锥表面交线的总长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 黎曼函数 $\text{[math]}$ 是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的定义为：当 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且p，q为互质的正整数）时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内的无理数时， $\text{[math]}$ ，则下列说法错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 存在大于1的实数 $\text{[math]}$ ，使方程 $\text{[math]}$ 有实数根 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若实数a、b、c使得 $\text{[math]}$ 对任意的实数 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 小爱同学在一周内自测体温（单位：℃）依次为36.1，36.2，36.1，36.5，36.3，36.6，36.3，则该组数据的（）

A . 平均数为36.3 B . 方差为0.04 C . 中位数为36.3 D . 第80百分位数为36.55

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10. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 周长的最小值为14 B . 四边形 $\text{[math]}$ 可能是矩形 C . 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率之积为定值 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的面积最大值为 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 恰好有6个不同的实数解，则 $\text{[math]}$ 的取值可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图所示，有一个棱长为4的正四面体 $\text{[math]}$ 容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）

A . 若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的周长最小值为 $\text{[math]}$ C . 如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 $\text{[math]}$ D . 如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知实数a，b满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称，且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为.

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15. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线交于点A、B，与直线 $\text{[math]}$ 交于点D，若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足 $\text{[math]}$ ，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为百米.

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 不超过240，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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18. 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求A；
2. （2）若D为边BC上一点，且 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的形状.
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19. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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20. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线的离心率；
2. （2）若双曲线E实轴长为2，过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交双曲线C的右支不同的A，B两点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点且满足 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，如果存在两个不同的正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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22. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 $\text{[math]}$ 次状态的概率分布只跟第 $\text{[math]}$ 次的状态有关，与第 $\text{[math]}$ 次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行 $\text{[math]}$ 次操作后，记甲盒子中黑球个数为 $\text{[math]}$ ，甲盒中恰有1个黑球的概率为 $\text{[math]}$ ，恰有2个黑球的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的分布列；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的期望.
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