浙江省强基联盟2023届高三下学期数学2月统测试卷

更新时间：2023-09-05 浏览次数：117 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ （i是虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2018高二下·孝感期中) 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
时间/分钟
10~20
20~30
30~40
40~50
甲的频率
0.1
0.4
0.2
0.3
乙的频率
0
0.3
0.6
0.1
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用 $\text{[math]}$ 表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则 $\text{[math]}$ 的数学期望和方差分别是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点为 $\text{[math]}$ 为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为 $\text{[math]}$ 的中点，则该椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，鳖臑 $\text{[math]}$ 的外接球的体积为 $\text{[math]}$ ，则阳马 $\text{[math]}$ 体积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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7. 已知在三角形ABC中， $\text{[math]}$ ，点M，N分别为边AB，AC上的动点， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，点P，Q分别为MN，BC的中点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有40个，将这80个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（）

A . 男生成绩的样本数据在 $\text{[math]}$ 内的频率为0.015 B . 男生成绩的样本数据的平均数为97 C . 男生成绩的样本数据的第75百分位数为118 D . 女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为95

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10. 如图，正方体 $\text{[math]}$ ，若点M在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则下列结论正确的为（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 B . 直线DM与平面 $\text{[math]}$ 所成角的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 点M到平面 $\text{[math]}$ 与到平面ACD的距离之和为定值

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ．设直线l的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 有可能为直角 B . $\text{[math]}$ C . Q为抛物线C上一个动点， $\text{[math]}$ 为定点， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$

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12. 已知连续函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ 的图象关于y轴对称，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上至少有2个零点 D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022高三上·北辰期中) $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为．

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14. 已知直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 有两个交点，则m的取值范围为．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调，则正整数 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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16. $\text{[math]}$ ，则b的最大值是．

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四、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 是公比为2的等比数列， $\text{[math]}$ 为正项数列， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ．求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 已知锐角 $\text{[math]}$ ， a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线，交AB于D点，且 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值．
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19. 如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧 $\text{[math]}$ 上一动点（点P与点A，D不重合）， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点P在平面ABCD的射影为点H，设 $\text{[math]}$ 的中点为E点，当点P运动到某个位置时，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，求此时DH的长度．
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20. 2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．

下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：

淘汰赛	比赛结果	淘汰赛	比赛结果
1/8决赛	荷兰 $\text{[math]}$ 美国	1/4决赛	克罗地亚 $\text{[math]}$ 巴西
	阿根廷 $\text{[math]}$ 澳大利亚		荷兰 $\text{[math]}$ 阿根廷
	法国 $\text{[math]}$ 波兰		摩洛哥 $\text{[math]}$ 葡萄牙
	英格兰 $\text{[math]}$ 塞内加尔		英格兰 $\text{[math]}$ 法国
	日本 $\text{[math]}$ 克罗地亚	半决赛	阿根廷 $\text{[math]}$ 克罗地亚
	巴西 $\text{[math]}$ 韩国	半决赛	法国 $\text{[math]}$ 摩洛哥
	摩洛哥 $\text{[math]}$ 西班牙	季军赛	克罗地亚 $\text{[math]}$ 摩洛哥
	葡萄牙 $\text{[math]}$ 瑞士	决赛	阿根廷 $\text{[math]}$ 法国

注：“阿根廷 $\text{[math]}$ 法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为 $\text{[math]}$ ，在点球大战中阿根廷 $\text{[math]}$ 战胜法国．

参考公式： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（1）请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．
（2）根据题意填写下面的 $\text{[math]}$ 列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．

欧洲球队
其他球队
合计
闯入8强
未闯入8强
合计
（3）若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为 $\text{[math]}$ ，求在点球大战中，两队前2轮比分为 $\text{[math]}$ 的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．

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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为10，且经过点 $\text{[math]}$ ． A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
1. （1）求双曲线E的标准方程．
2. （2）直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性，
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 恒成立．
  ①求a的取值范围；
  ②证明： $\text{[math]}$
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