备战2023年中考数学细点逐一突破真题训练第9章二次函数几何...

更新时间：2023-03-15 浏览次数：106 类型：二轮复习

一、面积、线段最值问题

1. (2022·日照) 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2mx+3m，点A（3，0）．
1. （1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
2. （2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
3. （3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
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2. (2021·东营) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，直线 $\text{[math]}$ 过B、C两点，连接AC ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作 $\text{[math]}$ 轴交直线BC于点E ，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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3. 如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm² ．

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4. (2023九上·武义期末) 某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于 $\text{[math]}$ ），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为 $\text{[math]}$ ，计划中的建筑材料总长 $\text{[math]}$ ，设两间饲养室的宽度为 $\text{[math]}$ ，总占地面积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
2. （2）求饲养室的宽度为多少 $\text{[math]}$ 时，饲养室最大面积多少 $\text{[math]}$ ？
3. （3）若要使两间饲养室合计占地总面积不低于 $\text{[math]}$ ，求饲养室的宽度 $\text{[math]}$ 的范围.
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二、含角度问题

5. (2022九上·大连期末) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在第四象限的抛物线上，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标．
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6. (2020·淄博) 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax²+bx+ $\text{[math]}$ （a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
1. （1）求这条抛物线对应的函数表达式；
2. （2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的 $\text{[math]}$ ，求点R的坐标；
3. （3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
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7. (2020·山西) 综合与探究
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）请直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的坐标及直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的点，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的三等分点时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上的点，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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三、中心对称图形存在性问题

8. (2022·呼伦贝尔、兴安盟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
1. （1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
2. （2）若点M在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使 $\text{[math]}$ 面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
3. （3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
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9. (2022·丹东) 如图1，抛物线y＝ax²+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
3. （3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
4. （4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
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10. (2021·通辽) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交y轴于点C ，动点P在抛物线的对称轴上．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）当以P ， B ， C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 $\text{[math]}$ 的周长；
3. （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ， C ， P ， Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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四、三角形存在性问题

11. (2022·东营) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）在对称轴上找一点Q，使 $\text{[math]}$ 的周长最小，求点Q的坐标；
3. （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
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12. (2022·枣庄) 如图①，已知抛物线L：y＝x²+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC $\text{[math]}$ x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
1. （1）求抛物线的关系式；
2. （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
3. （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
4. （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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13. (2020·黔东南州) 已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）.
1. （1）求抛物线的解析式.
2. （2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标.
3. （3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由.
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14. (2019·恩施) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过点C(0，-2)，顶点D的坐标为（1， $\text{[math]}$ ），与 $\text{[math]}$ 轴交于A、B两点.
1. （1）求抛物线的解析式.
2. （2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和 $\text{[math]}$ 的值.
3. （3）点F（0， $\text{[math]}$ ）是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的值最小.并求出这个最小值.
4. （4）点C关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为H，当 $\text{[math]}$ 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
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15. (2013·梧州)
如图，抛物线y=a（x﹣h）²+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．
1. （1）求此抛物线的解析式．
2. （2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
3. （3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．
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五、含参问题求定值（数形结合)

16. (2021·大庆) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于除原点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，且其顶点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线 $\text{[math]}$ 上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线 $\text{[math]}$ 的距离总相等．
  ①证明上述结论并求出点F的坐标；
  
  ②过点F的直线l与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点．证明：当直线l绕点F旋转时， $\text{[math]}$ 是定值，并求出该定值；
3. （3）点 $\text{[math]}$ 是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 周长最小，直接写出 $\text{[math]}$ 的坐标．
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17. (2023九上·福州期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ （m为常数）.
1. （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为 $\text{[math]}$ ，直线BD的解析式为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证：直线AB过定点.
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18. (2022九上·南宁月考) 已知点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上一个动点.
1. （1）如图，若抛物线与直线l交于点A.
  ①求a和k的值；
  ②过点M作y轴的平行线交直线l于点N，当点M在直线l上方的抛物线上运动时，求线段MN长度的最大值及此时点M的坐标；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是抛物线与直线 $\text{[math]}$ 在第一象限内的交点，若 $\text{[math]}$ 直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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19. (2021·安徽) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线x=1.
1. （1）求a的值；
2. （2）若点M( $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ),N( $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ )都在此抛物线上，且-1＜ $\text{[math]}$ ＜0，1＜ $\text{[math]}$ ＜2.比较 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由；
3. （3）设直线y=m(m＞0)与抛物线 $\text{[math]}$ 交于A、B，与抛物线 $\text{[math]}$ 交于C、D，求线段AB与线段CD的长度之比.
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20. 如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
3. （3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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21. (2020·烟台) 如图，抛物线y＝ax²+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝ $\text{[math]}$ ，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
3. （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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