新高考地区2022-2023学年高三下学期数学开学考试卷

更新时间：2023-02-23 浏览次数：53 类型：开学考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 1 C . -1 D . -3

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3. 古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为 $\text{[math]}$ ，则水库深度（棱台的高）为（）

A . 10m B . 20m C . 30m D . 40m

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4. 已知抛物线C： $\text{[math]}$ ，过焦点F的直线 $\text{[math]}$ 与C在第四象限交于M点，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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5. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 0

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6. 某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：

月份代号x	1	2	3	4	5	6	7
在线外卖规模y（百万元）	11	13	18	★	28	★	35

其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程 $\text{[math]}$ 来拟合预测，且7月相应于点 $\text{[math]}$ 的残差为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1.0 B . 2.0 C . 3.0 D . 4.0

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7. 已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 与圆 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都相切的直线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 记函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$

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11. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上关于坐标原点 $\text{[math]}$ 对称的两点（ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 非椭圆顶点），过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于另一点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 为椭圆的一个焦点时，则 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为偶函数， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为-40，则实数 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是该函数的极值点，定义 $\text{[math]}$ 表示超过实数x的最小整数，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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16. 现取长度为2的线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作半圆，该半圆的面积为 $\text{[math]}$ （图1），再取线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作半圆．所有半圆的面积之和为 $\text{[math]}$ （图2），再取线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作半圆，所有半圆的面积之和为 $\text{[math]}$ ，以此类推，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 为定值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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18. 已知 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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19. 青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间 $\text{[math]}$ 中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
分数
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
频率
0.15
0.25
$\text{[math]}$
0.30
0.10
1. （1）试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
2. （2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在 $\text{[math]}$ 的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望．
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20. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线与双曲线交于第一象限的点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线的左支、右支分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于P，Q两点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）是 $\text{[math]}$ 的两个极值点，证明： $\text{[math]}$ ．
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