浙江省强基联盟2022-2023学年高二上学期数学12月统测...

更新时间：2023-01-31 浏览次数：81 类型：月考试卷

一、单选题

1. (2018高二上·嘉兴期中) 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角 $\text{[math]}$ 是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为1，竹签所在直线方程为 $\text{[math]}$ ，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点重合， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的离心率，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与该双曲线相交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 该直线不存在

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5. 在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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6. 已知空间非零向量 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 既不充分也不必要条件 C . 充要条件 D . 必要不充分条件

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7. 已知 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图像上一点，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值（）

A . 与 $\text{[math]}$ 有关，且与 $\text{[math]}$ 有关 B . 与 $\text{[math]}$ 有关，但与 $\text{[math]}$ 无关 C . 与 $\text{[math]}$ 无关，但与 $\text{[math]}$ 有关 D . 与 $\text{[math]}$ 无关，且与 $\text{[math]}$ 无关

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8. 在棱长为6的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为侧面 $\text{[math]}$ 内一动点，且满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 的所有顶点均在球 $\text{[math]}$ 的球面上，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 该圆的圆心为 $\text{[math]}$ B . 该圆的半径为 $\text{[math]}$ C . 该圆过定点 $\text{[math]}$ D . 该圆被 $\text{[math]}$ 轴截得的弦长为 $\text{[math]}$

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10. 下列说法正确的是（）

A . 若向量 $\text{[math]}$ 共面，则它们所在的直线共面 B . 若 $\text{[math]}$ 是四面体 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 的重心，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 四点共面 D . 若向量 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 在基底 $\text{[math]}$ 下的坐标，已知 $\text{[math]}$ 在单位正交基底 $\text{[math]}$ 下的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在基底 $\text{[math]}$ 下的坐标为 $\text{[math]}$

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 是该抛物线上两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为焦点，则下列结论正确的是（）

A . 若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的中点到准线的距离为1 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. 在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 点在线段 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 以 $\text{[math]}$ 为球心， $\text{[math]}$ 为半径的球面与底面 $\text{[math]}$ 的交线的长度为 $\text{[math]}$ B . 若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 过 $\text{[math]}$ 三点作正方体的截面 $\text{[math]}$ 为截面 $\text{[math]}$ 上一点，则线段 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系内，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的点 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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14. 某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点 $\text{[math]}$ 处，已知卫星接收天线的口径（直径）为 $\text{[math]}$ ，深度为 $\text{[math]}$ ，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为 $\text{[math]}$ .

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15. 已知正三棱柱 $\text{[math]}$ ，底面边长是2，高是1，过底面一边 $\text{[math]}$ 作与底面 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角的截面，则其面积是.

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16. 已知正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 确定两个点 $\text{[math]}$ .
1. （1）写出直线 $\text{[math]}$ 的方程（答案含 $\text{[math]}$ ）；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 内作内接正方形 $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，顶点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上.若 $\text{[math]}$ ，当正方形 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中，设 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 两两垂直，证明： $\text{[math]}$ 为锐角三角形.
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19. 在平面直角坐标系中，已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 为何值时，该方程表示圆？并求出半径最大的圆的方程.
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，当（1）中圆的半径取最大时，该圆上是否存在点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的个数；若不存在，请说明理由.
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20. 如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，如图2所示.
1. （1）设平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（点 $\text{[math]}$ 不与端点重合），平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，且右顶点 $\text{[math]}$ 到渐近线的距离为 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上位于 $\text{[math]}$ 轴上方的两点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值.
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作椭圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，且两切线垂直.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点为 $\text{[math]}$ 为坐标原点，过 $\text{[math]}$ 两点的圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 分别交椭圆 $\text{[math]}$ 于异于 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 两点.证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点.
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