安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期数学开学考试试...

更新时间：2022-09-22 浏览次数：66 类型：开学考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . -1

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . -1 C . 2 D . -2

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4. (2020高三上·福建月考) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（）

A . 该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间 $\text{[math]}$ 内的最少 B . 估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16 C . 估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14 D . 估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456

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6. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 6 B . 10 C . 12 D . 20

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7. “ $\text{[math]}$ ”是“直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行”的（）

A . 充要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分不必要条件 D . 既不充分也不必要

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8. 若曲线 $\text{[math]}$ 的一条切线的斜率为3，则该切线的方程可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 函数 $\text{[math]}$ 的图象的一个对称中心为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在四边形 $\text{[math]}$ 内（包括边界）运动，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，若以点 $\text{[math]}$ 为圆心半径为5的圆与抛物线 $\text{[math]}$ 的准线相切，且与 $\text{[math]}$ 轴相交的弦长为6，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 8 C . 2或8 D . 6

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，且对 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 1 C . 2 D . -2

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二、填空题

13. (2017·大连模拟) （x﹣ $\text{[math]}$ ）⁴的展开式中的常数项为．

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14. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面边长为3，高为2，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为.

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16. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的右支交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的外心 $\text{[math]}$ 的横坐标为0，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为.

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三、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ .
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18. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别是 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 外接圆的直径为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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19. 产品的质量是一个企业在市场中获得消费者信赖的重要因素，某企业对出厂的每批次产品都进行性能测试.某检验员在某批次的产品中抽取5个产品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个产品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为 $\text{[math]}$ ，选择乙方案测试合格的概率为 $\text{[math]}$ ，且每次测试的结果互不影响.
1. （1）若3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案.
  （i）求5个产品全部测试合格的概率；
  （ii）求4个产品测试合格的概率.
2. （2）若测试合格的产品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的产品个数.
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20. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且左焦点坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆上的一个动点， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 有两个极值点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的零点个数.
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