重庆市长寿区2022届高三上学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-09-05 浏览次数：49 类型：期末考试

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素的个数为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021高一下·高州期末) 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如 $\text{[math]}$ ．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知直线 $\text{[math]}$ 过抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点且与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，线段 $\text{[math]}$ 的中点关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点在直线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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6. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 2 C . -1 D . 1

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7. (2021高二上·大连期中) 过点 $\text{[math]}$ 作与圆 $\text{[math]}$ 相切的直线l，则直线l的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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8. (2022高二下·嵩明期中) 已知定义在R上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . －1 B . －3 C . 1 D . 3

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二、多选题

9. 给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（）

A . 平均数为3 B . 标准差为 $\text{[math]}$ C . 众数为2和3 D . 中位数为3

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10. 已知双曲线的方程为 $\text{[math]}$ ，则下列说法错误的是（）

A . 离心率 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ B . 渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 焦点为 $\text{[math]}$ D . 焦点到渐近线的距离为 $\text{[math]}$

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11. 正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为90° D . 平面 $\text{[math]}$ 截正方体所得截面为等腰梯形

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12. (2021高二下·孝感期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 B . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极大值点 C . $\text{[math]}$ 有三个零点 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上最大值是4

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三、填空题

13. 写出一个最大值为4，最小值为-2的周期函数 $\text{[math]}$ .

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14. (2020高三上·诸暨期末) 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距 $\text{[math]}$ 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距 $\text{[math]}$ 正切值的乘积，即 $\text{[math]}$ ．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的 $\text{[math]}$ 倍和 $\text{[math]}$ 倍（所成角记 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. (2022·鞍山模拟) 已知正四面体ABCD的表面积为 $\text{[math]}$ ，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为．

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四、解答题

17. (2022高二下·嵩明期中) 在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题：
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________且 $\text{[math]}$ ， △ABC的面积为 $\text{[math]}$ ，求△ABC的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为3，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记数列 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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19. 在如图所示的四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， E为PD的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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20. 已知曲线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线C的方程，并指出曲线类型；
2. （2）若直线2x－y－2＝0与曲线C的两个交点为A，B，求△OAB的面积（其中O是坐标原点）．
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21. “学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮．该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”．某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们2021年年底的积分情况，并将数据整理如下：
积分
性别
2000~3000（分）
3001~4000（分）
4001~5000（分）
5001~6000（分）
＞6000（分）
男性
80
60
30
20
10
女性
20
60
100
20
0
附： $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$
0.10
0.05
0.025
0.010
$\text{[math]}$
2.706
3.841
5.024
6.635
1. （1）已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；
  
  优秀员工
  非优秀员工
  总计
  男性
  女性
  总计
2. （2）以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处与直线 $\text{[math]}$ 相切，求出实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值以及 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 有解？若存在，求出实数 $\text{[math]}$ 的取值范围，若不存在，说明理由．
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