北京市丰台区2022届高三数学高考二模试卷

更新时间：2022-06-30 浏览次数：64 类型：高考模拟

一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点的坐标是 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2019高二下·深圳期中) “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 函数 $\text{[math]}$ 是（）

A . 最小正周期为π的奇函数 B . 最小正周期为π的偶函数 C . 最小正周期为2π的奇函数 D . 最小正周期为2π的偶函数

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4. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为

A . -240 B . -60 C . 60 D . 240

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5. 已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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6. 小王每天在6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（）

A . 0.13 B . 0.17 C . 0.21 D . 0.3

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知偶函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减．若 $\text{[math]}$ ，则x的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限， $\text{[math]}$ 与另一条渐近线平行．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. 已知抛物线C： $\text{[math]}$ ，则抛物线C的准线方程为．

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13. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： $\text{[math]}$ ）与时间t（单位：月）满足关系式： $\text{[math]}$ （a为常数），记 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．给出下列四个结论：
①设 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
②存在唯一的实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，其中 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数；
③常数 $\text{[math]}$ ；
④记浮萍蔓延到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所经过的时间分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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15. 在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，动点N满足 $\text{[math]}$ ，记d为点N到直线l： $\text{[math]}$ 的距离．当m变化时，直线l所过定点的坐标为；d的最大值为．

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三、解答题

16. 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为BC的中点，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．
条件①： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ；

条件②： $\text{[math]}$ ；

条件③： $\text{[math]}$ ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．若对任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求m的最小值．
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18. 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．
1. （1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；
2. （2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ ；
3. （3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）直接写出a的一个取值范围，使得 $\text{[math]}$ 恒成立．
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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， P到椭圆C的两个焦点的距离和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．
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21. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是 $\text{[math]}$ 个互不相同的闭区间，若存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，则称这 $\text{[math]}$ 个闭区间为聚合区间， $\text{[math]}$ 为该聚合区间的聚合点．
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为聚合区间，求t的值；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为聚合区间．
  （ⅰ）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；
  
  （ⅱ）若对任意p，q（ $\text{[math]}$ 且p， $\text{[math]}$ ），都有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 互不包含．求证：存在不同的i， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
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