河南省洛阳市2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

更新时间：2022-08-18 浏览次数：74 类型：期中考试

一、单选题

1. 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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3. 已知正方体的棱长为 $\text{[math]}$ ，则该正方体外接球的体积为（）

A . 9π B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 外接圆的半径 $\text{[math]}$ 为（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 1 C . -2 D . 2

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6. 设 $\text{[math]}$ 为不同的直线， $\text{[math]}$ 为不同的平面，则下列结论中不正确的有（）
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

A . ②③ B . ②④ C . ①③ D . ②

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7. 下列说法正确的有（）

A . 两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台 B . 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C . 利用斜二测画法得平行四边形的直观图可能是梯形 D . 存在四个面都是直角三角形的三棱锥

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8. “ $\text{[math]}$ 为钝角三角形”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 充要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. 如图所示，在正方体 $\text{[math]}$ 中，若经过 $\text{[math]}$ 的平面分别交 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的形状是（）

A . 直角梯形 B . 菱形 C . 平行四边形 D . 等腰梯形

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10. 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . $\text{[math]}$

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11. 如图，已知四面体 $\text{[math]}$ 的侧面 $\text{[math]}$ 为等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点D作截面 $\text{[math]}$ 交侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为四面体 $\text{[math]}$ 体积的 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长度的最小值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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12. 设向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“向量积”： $\text{[math]}$ ．可知 $\text{[math]}$ 是一个向量，它的模为 $\text{[math]}$ ．已知在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则复数z的模为．

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14. 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为锐角，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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15. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形，则该圆锥内接正方体的棱长为．

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16. 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点，以A为圆心，1为半径，分别在面 $\text{[math]}$ 和面 $\text{[math]}$ 内作弧 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，并将两弧各六等分，分点依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 以及 $\text{[math]}$ ．一只蚂蚁欲从点 $\text{[math]}$ 出发，沿正方体的表面爬行至 $\text{[math]}$ 则其爬行的最短距离为．

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三、解答题

17. 已知复数 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的根，且 $\text{[math]}$ 的实部大于虚部， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 是纯虚数，求实数a的值；
2. （2）若复数 $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．
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18. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角A的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．
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19. 如图所示，正方形 $\text{[math]}$ 是一个水平放置的平面图形 $\text{[math]}$ 的直观图，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求原图形的面积；
2. （2）将原图形以 $\text{[math]}$ 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 的各点分别一一对应，如 $\text{[math]}$ 对应直观图中的 $\text{[math]}$ ）
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20. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 为圆柱 $\text{[math]}$ 的轴截面， $\text{[math]}$ 是圆柱上异于 $\text{[math]}$ 的母线， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设平面 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 所在平面的交线为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
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21. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求a的值．
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22. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在 $\text{[math]}$ 中，试解决以下问题：
1. （1） G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
  （i）记 $\text{[math]}$ ，请用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
  
  （ii） $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
2. （2）已知点O是 $\text{[math]}$ 的______________，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
  请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．（注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
  
  ①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）．
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