广东省六校2022届高三下学期数学第四次联考试卷

更新时间：2022-03-28 浏览次数：82 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2.
如图，在复平面内，复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对应的向量分别是 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 北京冬奥会已在北京和张家口市如火如荼的进行. 为了纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”. 先从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有2枚会徽邮票的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知一组数据共10个数（10不全相等），方差为 $\text{[math]}$ ，增加一个数后得到一组新数据，新数据的平均数不变，方差为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则 $\text{[math]}$ 的解析式可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021高一上·浦东期末) 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图像不可能是（）

A . B . C . D .

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8. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 平面ABC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点，则四棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为（）

A . 13π B . 52π C . 104π D . 208π

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ，设下列圆锥曲线的焦点是 $\text{[math]}$ ，则满足 $\text{[math]}$ 的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是二个不重合的平面， $\text{[math]}$ 是直线．给出下列命题，其中正确的命题有（）

A . 若 $\text{[math]}$ 上两点到 $\text{[math]}$ 的距离相等，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若直线 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以下四个命题中正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有最大值2 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$

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12. 设随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列如下：

$\text{[math]}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 为等差数列时， $\text{[math]}$ B . 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式可能为 $\text{[math]}$ C . 当数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则 $\text{[math]}$ 的展开式中的常数项为.

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14. 已知 $\text{[math]}$ 为奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为.

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15. 如图，已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ 的大小为.

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16. 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的平分线上任意一点，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. 根据我国国家统计局的数据显示，2020年12月份，中国制造业采购经理指数（PMI）为50.3%，比上月上升0.2个百分点.以新能源汽车、机器人、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业为评估某设备 $\text{[math]}$ 生产某种零件的性能，从设备 $\text{[math]}$ 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算， $\text{[math]}$ ，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：

（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 $\text{[math]}$ ，并根据以下不等式进行评判（ $\text{[math]}$ 表示相应事件的频率）：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级；
（2）将直径小于等于 $\text{[math]}$ 或直径大于 $\text{[math]}$ 的零件认为是次品，
①从设备 $\text{[math]}$ 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ ；

②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ ．

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20. 已知矩形纸片 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，将该纸片沿对角线 $\text{[math]}$ 折成空间四边形 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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21. 若 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 对于 $\text{[math]}$ 恒成立.
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22. 如图，已知圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆内切于圆O，点 $\text{[math]}$ 的集合记为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，问： $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.
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