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河南省郑州市2021-2022学年高三上学期理数第一次质量预...

更新时间：2022-02-25 浏览次数：78 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . {2，3} C . {1，2，3} D . $\text{[math]}$

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2. 已知i虚数单位，若z=1+ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知命题 $\text{[math]}$ ，命题 $\text{[math]}$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若实数x､y满足 $\text{[math]}$ ，则z=x+3y的最小值为（）

A . -9 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. 若函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法､音乐､美术､体育社团，现将5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有（）

A . 60种 B . 120种 C . 240种 D . 480种

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ ，为了得到函数 $\text{[math]}$ 的图象只需将y=f（x）的图象（）

A . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位 B . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位 C . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位 D . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位

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8. 数学家阿基米德建立了这样的理论：“任何由直线与抛物线所围成的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四，如图，直线x=1与抛物线y²=2x交于A，B两点，A，B两点在y轴上的射影分别为M，N，从长方形ABNM内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（）

A . 60米 B . 61米 C . 62米 D . 63米

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10. 在圆 $\text{[math]}$ 上总存在点 $\text{[math]}$ ，使得过点 $\text{[math]}$ 能作椭圆 $\text{[math]}$ 的两条相互垂直的切线，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为 $\text{[math]}$ ，在该圆柱内放置一个棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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12. 已知a>0，函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中所有二项式系数之和是64，则它展开式中x²的系数.

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15. 双曲线C： $\text{[math]}$ 与抛物线y²=8x有共同的焦点 $\text{[math]}$ ，双曲线左焦点为 $\text{[math]}$ ，点P是双曲线右支一点，过 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 的角平分线做垂线，垂足为N， $\text{[math]}$ 1，则双曲线的离心率是.

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16. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是空间中任意一点.
①若点 $\text{[math]}$ 是正方体表面上的点，则满足 $\text{[math]}$ 的动点轨迹长是 $\text{[math]}$ ；
②若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的点，则异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的取值范围是 $\text{[math]}$ ；
③若点 $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离与到点 $\text{[math]}$ 的距离之和为2，则 $\text{[math]}$ 的轨迹是椭圆；
④过点 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 与正方体每条棱所成的角都相等，则平面 $\text{[math]}$ 截正方体所得截面的最大面积是 $\text{[math]}$ .
以上说法正确的有.

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三、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，现给出下列三个条件：① $\text{[math]}$ 成等比数列；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. 为深入贯彻党的十九大教育方针.中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.郑州某中学数学建模小组随机抽查了我市2000名初二学生“双减”政策前后每天的运动时间，得到如下频数分布表：
表一：“双减”政策后
时间（分钟）
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
人数
10
60
210
520
730
345
125
表二：“双减”政策前
时间（分钟）
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
人数
40
245
560
610
403
130
12
1. （1）用一个数字特征描述“双减”政策给学生的运动时间带来的变化（同一时间段的数据用该组区间中点值做代表）；
2. （2）为给参加运动的学生提供方便，学校在球场边安装直饮水设备.该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作，且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌A､B：A品牌售价5百元，使用寿命7个月或8个月（概率均为0.5）；B品牌售价2百元，寿命3个月或4个月（概率均为0.5）.现有两种购置方案，方案甲：购置2个品牌A；方案乙：购置1个品牌A和2个品牌B.试从性价比（设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠.
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19. 在矩形ABCD中，AB=2，AD= $\text{[math]}$ ， E是DC中点，连接AE，将△ADE沿AE折起，使得点D移动至点P，满足平面PAE⊥平面ABCE.
1. （1）求证：AE⊥BP；
2. （2）求二面角E-CP-B的余弦值.
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20. 设函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ .
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21. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆交于M，N两点，当MN⊥x轴时， $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）设经过点H（0，-1）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围.
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的普通方程和曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 的直角坐标系下的坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角．
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23. 已知 $\text{[math]}$ 均为正数，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ．
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