上海市普陀区2021届高三上学期数学期中考试试卷

更新时间：2021-09-29 浏览次数：51 类型：期中考试

一、填空题

1. 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ ．

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2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的反函数 $\text{[math]}$ ．

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3. 已知： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为第四象限角，则 $\text{[math]}$ ．

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4. 从4名男生和3名女生选2人参加校园辩论赛，则至少有一名女生的概率是．

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5. (2021·唐山模拟) 已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为.

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6. 若 $\text{[math]}$ 的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．

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7. 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，则实数 $\text{[math]}$ 的值为．

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8. 设数列 $\text{[math]}$ 前项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且对任意正整数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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9. (2019高三上·天津月考) 已知 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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10. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值等于.

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11. 已知递增数列 $\text{[math]}$ 共有2020项，且各项和均不为零， $\text{[math]}$ ，如果从 $\text{[math]}$ 中任取两项 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 仍是数列 $\text{[math]}$ 中的项，则数列 $\text{[math]}$ 的各项和 $\text{[math]}$ ．

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12. 用 $\text{[math]}$ 表示函数 $\text{[math]}$ 在闭区间 $\text{[math]}$ 上的最大值，若正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的为．

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二、单选题

13. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”成立的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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14. 已知非零 $\text{[math]}$ 在非零 $\text{[math]}$ 方向上的投影是m，m∈R，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影一定是m B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影一定是km C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影一定是km D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影一定m

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15. 已知常数 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，则下列关系式中不可能成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 关于函数，有下列叙述：
①存在函数 $\text{[math]}$ 满足，对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ；②存在函数 $\text{[math]}$ 满足，对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ；③存在函数 $\text{[math]}$ 满足，对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ；④存在函数 $\text{[math]}$ 满足，对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ；

其中，叙述正确的是（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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三、解答题

17. 如图所示的多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 是梯形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求多面体 $\text{[math]}$ 的体积；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角．
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18. 已知x∈R，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期和单调递增区间；
2. （2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求△ABC的面积S．
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19. 随着“新冠”疫情得到有效控制，企业进入了复工复产阶段为了支持一家小微企业发展，某科创公司研发了一种玩具供其生产销售．根据测算，该企业每月生产每套玩具的成本p由两部分费用（单位：元）构成：①固定成本（与生产玩具套数x无关），总计2万元；②生产所需成本 $\text{[math]}$
1. （1）问：该企业每月生产多少套玩具时，可使得平均每套所需的成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？
2. （2）因“疫情”防控的需要，要求企业的复工复产逐步进行，假设复工后，企业每月生产 $\text{[math]}$ 套，售价定为 $\text{[math]}$ （单位：元），且每月生产出的玩具能全部售出如果企业的月产量与复工率成正比，且该企业复工率达100%时的月产量为4000套，问：该企业的复工率至少达到多少时，才能确保月利润不少于10万元？
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20. 设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，其中 $\text{[math]}$ 是常数．
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 为等差数列；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 且对于任意的 $\text{[math]}$ 成等比数列，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，若对一切正数 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ 的在数集 $\text{[math]}$ 上都有定义，对于任意的 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 成立，则称 $\text{[math]}$ 是数集 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 的限制函数．
1. （1）试判断函数 $\text{[math]}$ 是否是函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的限制函数；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的限制函数且 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的值恒正，求证：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是增函数；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，试写出函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的限制函数，并利用（2）的结论，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调区间，说明理由．
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