2021年高考数学真题分类汇编专题04：数列

更新时间：2021-07-09 浏览次数：307 类型：二轮复习

一、单选题

1. (2021·全国甲卷) 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

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2. (2021·北京) 数列 $\text{[math]}$ 是递增的整数数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 9 B . 10 C . 11 D . 12

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3. (2021·北京) $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个等差数列，其中 $\text{[math]}$ 为常值， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 64 B . 128 C . 256 D . 512

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4. (2021·浙江) 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 成等比数列，则平面上点 $\text{[math]}$ 的轨迹是（）

A . 直线和圆 B . 直线和椭圆 C . 直线和双曲线 D . 直线和抛物线

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5. (2021·浙江) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

6. (2021·新高考Ⅰ) 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dm×2dm、20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和 S₁ =240 dm² ，对折2次共可以得5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和 S₂=180dm²。以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么 $\text{[math]}$ =dm.

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三、解答题

7. (2021·全国甲卷) 记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 是等差数列．证明： $\text{[math]}$ 是等差数列．

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8. (2021·全国甲卷) 已知数列{a_n｝的各项均为正数，记S_n为{a_n｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{a_n｝是等差数列：②数列{ $\text{[math]}$ ｝是等差数列；③a₂=3a₁

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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9. (2021·全国乙卷) 记S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n为数列{S_n}的前n项积，已知 $\text{[math]}$ =2.
1. （1）证明：数列{b_n}是等差数列；
2. （2）求{a_n}的通项公式.
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10. (2021·全国乙卷) 设 $\text{[math]}$ 是首项为1的等比数列，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，3 $\text{[math]}$ ，9 $\text{[math]}$ 成等差数列.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的前n项和.证明： $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$ .
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11. (2021·新高考Ⅰ) 已知数列{ $\text{[math]}$ }满足 $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$
1. （1）记 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的前20项和
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12. (2021·新高考Ⅱ卷) 记 $\text{[math]}$ 是公差不为0的等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求使 $\text{[math]}$ 成立的n的最小值．
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13. (2021·北京) 设p为实数．若无穷数列{a_n}满足如下三个性质，则称{a_n}为R_P数列：
：① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ （m=1，2，…；n=1，2，…）．
1. （1）如果数列{a_n}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{a_n}是否可以为 $\text{[math]}$ 数列？说明理由；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 数列，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设数列{a_n}的前n项和为S_n ，是否存在 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ ，对 $\text{[math]}$ 恒成立？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
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14. (2021·浙江) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的范围.
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15. (2021·天津) 已知 $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． $\text{[math]}$ 是公比大于0的等比数列， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ .
  （i）证明 $\text{[math]}$ 是等比数列；
  
  （ii）证明 $\text{[math]}$
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