山西省名校联考2021届高三理数三模试卷

更新时间：2021-07-28 浏览次数：145 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·山西模拟) 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021·山西模拟) 已知△ABC的重心为O ，则向量 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021·山西模拟) 某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：

第 $\text{[math]}$ 天

1

2

3

4

5

使用人数( $\text{[math]}$ )

15

173

457

842

1333

由表中数据可得y关于x的回归方程为 $\text{[math]}$ ，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（）

A . -5 B . -6 C . 3 D . 2

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，设函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线为l ，则l过定点（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里.则8天后两马之间的距离为（）

A . 1055里 B . 1146里 C . 1510里 D . 1692里

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7. 设直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，在棱长为4的正方体 $\text{[math]}$ ，中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点作正方体的截面，则以 $\text{[math]}$ 点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 8 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2021·山西模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示a ， b中的最大值，则函数 $\text{[math]}$ 的零点个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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10. 如图，双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 的两条渐近线上， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为坐标原点)，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2021·山西模拟) 分子间作用力存在于分子与分子之间或惰性气体原子之间，在一定条件下两个惰性气体原子接近，则彼此因静电力作用产生极化，从而导致有相互作用力，称为范德瓦尔斯作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U ，且 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为静电常量， $\text{[math]}$ 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，且 $\text{[math]}$ 的绝对值远小于 $\text{[math]}$ ．当x的值接近于0时，在近似计算中 $\text{[math]}$ ，则U的近似值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的五个顶点都在球 $\text{[math]}$ 的球面上， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是高为 $\text{[math]}$ 的等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为.

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14. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ .当且仅当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最小值，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .对于不相等的正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现有如下命题：
①对于任意不相等的正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；

②对于任意的a及任意不相等的正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；

③对于任意的a，存在不相等的正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；

④对于任意的a，存在不相等的正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .

其中真命题有(写出所有真命题的序号).

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三、解答题

17. 如图，平面四边形 $\text{[math]}$ 内接于一个圆，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为钝角， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在侧棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值.
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19. 2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
1. （1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为 $\text{[math]}$ ，试求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列及期望；
2. （2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 近似为样本平均数， $\text{[math]}$ 近似为样本方差 $\text{[math]}$ ，经计算 $\text{[math]}$ .现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
  参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的右顶点和上顶点，若 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 的面积的3倍，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 且斜率不为0的直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴平行，求证：直线 $\text{[math]}$ 恒过定点.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ .
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22. (2021·山西模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $\text{[math]}$ ，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程与 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）设点A ， B分别为曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 上的动点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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23. (2021·山西模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数m的取值范围．
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