北京市延庆区2021届高三数学模拟考试试卷

更新时间：2021-04-26 浏览次数：157 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . {-1} B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为无穷等比数列，且公比 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则下面结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是递减数列 D . $\text{[math]}$ 存在最小值

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3. 已知 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的焦点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的横坐标为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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4. 设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形，侧(左)视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心且与直线 $\text{[math]}$ 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 8

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7. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的幂函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数）过点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在平面内一点， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ 则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的 $\text{[math]}$ 血液中酒精含量为 $\text{[math]}$ ，不构成饮酒驾车行为（不违法），达到 $\text{[math]}$ 的即为酒后驾车， $\text{[math]}$ 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 $\text{[math]}$ ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少 $\text{[math]}$ ，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过（）
（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 4小时 B . 6小时 C . 8小时 D . 10小时

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二、填空题

11. 若复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位）是纯虚数，则 $\text{[math]}$ =．

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12. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线过点 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为．

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13. 在二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中，系数为有理数的项的个数是．

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14. 已知 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =．

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15. 同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是非零常数，无理数 $\text{[math]}$ …），对于函数 $\text{[math]}$ 以下结论正确的是．
①如果 $\text{[math]}$ ，那么函数 $\text{[math]}$ 为奇函数；

②如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 为单调函数；

③如果 $\text{[math]}$ ，那么函数 $\text{[math]}$ 没有零点；

④如果 $\text{[math]}$ 那么函数 $\text{[math]}$ 的最小值为2．

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三、解答题

16. 已知函数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
条件①： $\text{[math]}$ 的最大值为2；条件②： $\text{[math]}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
1. （1） $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）将 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位得到 $\text{[math]}$ 的图象，求函数 $\text{[math]}$ 的单调增区间．
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17. 如图，四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，侧面 $\text{[math]}$ 为矩形，且侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点.

（Ⅰ）求证 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求 $\text{[math]}$ 二面角的余弦值

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18. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：

2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）

2022年

2月

北京赛区

延庆赛区

张家口赛区

开闭幕式

冰壶

冰球

速度

滑冰

短道

速滑

花

样

滑

冰

高

山

滑

雪

有舵雪橇

钢架雪车

无舵雪橇

跳台滑雪

北欧两项

越野滑雪

单板滑雪

冬季两项

自由式

滑雪

当

日

决

赛

数

5（六）

6（日）

说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．

（1） ①若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；
②若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；
（2）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记 $\text{[math]}$ 为赛区的个数，求 $\text{[math]}$ 的分布列及期望 $\text{[math]}$ ．

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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的斜率等于 $\text{[math]}$ 的切线方程；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 的极值；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，判断函数 $\text{[math]}$ 的零点个数，并说明理由．
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是经过椭圆右焦点 $\text{[math]}$ 的一条弦（不经过点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的上方），直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点M ，记PA ， PB ， PM的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．
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21. 若无穷数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，对于 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为常数），则称 $\text{[math]}$ 具有性质“ $\text{[math]}$ ”．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 具有性质“ $\text{[math]}$ ”，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若无穷数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，无穷数列 $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 是否具有性质“ $\text{[math]}$ ”，并说明理由；
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