上海市青浦区2021届高三上学期数学一模试卷

更新时间：2021-02-23 浏览次数：194 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. 类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）

A . ①② B . ②③ C . ③④ D . ①④

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3. 已知顶点在原点的锐角 $\text{[math]}$ 绕原点逆时针转过 $\text{[math]}$ 后，终边交单位圆于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是实数集 $\text{[math]}$ 的两个非空子集，又规定 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法：
（1）一定有 $\text{[math]}$ ；（2）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；（3）一定有 $\text{[math]}$ ；（4）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
其中正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

5. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的反函数是.

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7. 行列式 $\text{[math]}$ 中，元素3的代数余子式的值是

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8. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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9. 圆锥底面半径为 $\text{[math]}$ ，母线长为 $\text{[math]}$ ，则其侧面展开图扇形的圆心角 $\text{[math]}$ .

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10. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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11. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 $\text{[math]}$ 的不足近似值和过剩近似值分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的更为精确的近似值.已知 $\text{[math]}$ ，试以上述 $\text{[math]}$ 的不足近似值 $\text{[math]}$ 和过剩近似值 $\text{[math]}$ 为依据，那么使用两次“调日法”后可得 $\text{[math]}$ 的近似分数为.

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12. (2019·浙江模拟) 在二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中x^﹣⁵的系数与常数项相等，则a的值是．

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13. 点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的一个交点，点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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14. (2013·上海理) 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．

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15. 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 中的项的个数，则数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项的和 $\text{[math]}$ .

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16. 已知向量 $\text{[math]}$ 的模长为1，平面向量 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为棱 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面PAC；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与AP所成角的大小.
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18. 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数.
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为偶函数，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为减函数，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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19. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 是某个历史文物展览厅的俯视图，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，在梯形 $\text{[math]}$ 区域内部展示文物， $\text{[math]}$ 是玻璃幕墙，游客只能在△ $\text{[math]}$ 区域内参观．在 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 处安装一可旋转的监控摄像头， $\text{[math]}$ 为监控角，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ （含端点）上，且点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右下方．经测量得知： $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ （弧度），监控摄像头的可视区域△ $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 平方米．
1. （1）分别求线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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20. 已知动点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离比到点 $\text{[math]}$ 的距离大 $\text{[math]}$ .
1. （1）求动点 $\text{[math]}$ 所在的曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上的两个动点，如果直线 $\text{[math]}$ 的斜率与直线 $\text{[math]}$ 的斜率互为相反数，证明直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值，并求出这个定值；
3. （3）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上的两个动点，如果直线 $\text{[math]}$ 的斜率与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和为2，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点.
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21. 若无穷数列 $\text{[math]}$ 和无穷数列 $\text{[math]}$ 满足：存在正常数A，使得对任意的 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有关系 $\text{[math]}$ ．
1. （1）设无穷数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是等差数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，问：数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否具有关系 $\text{[math]}$ ？说明理由；
2. （2）设无穷数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有关系 $\text{[math]}$ ，并求A的最小值；
3. （3）设无穷数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，无穷数列 $\text{[math]}$ 是首项为2，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，试求数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有关系 $\text{[math]}$ 的充要条件．
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