江苏省南京师大附中2020-2021学年高二上学期数学12月...

更新时间：2021-01-28 浏览次数：167 类型：月考试卷

一、单选题

1. 数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，公比为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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2. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .定义数列 $\text{[math]}$ 如下： $\text{[math]}$ 是使不等式 $\text{[math]}$ 成立的所有 $\text{[math]}$ 中的最小值，则 $\text{[math]}$ （）

A . 25 B . 50 C . 75 D . 100

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3. 电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（）

A . 8 B . 12 C . 16 D . 20

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4. 小李年初向银行贷款 $\text{[math]}$ 万元用于购房，购房贷款的年利率为 $\text{[math]}$ ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年 $\text{[math]}$ 次，问每年应还（）万元. （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过焦点 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，分别过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作准线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图所示，则

①以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆与准线 $\text{[math]}$ 相切；②以 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过焦点 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中点 $\text{[math]}$ 为坐标原点）三点共线；④若已知点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，且已知点 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. 《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面 $\text{[math]}$ 是铅垂面，下宽 $\text{[math]}$ ，上宽 $\text{[math]}$ ，深 $\text{[math]}$ ，平面BDEC是水平面，末端宽 $\text{[math]}$ ，无深，长 $\text{[math]}$ （直线 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离），则该羡除的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.

A . 40320种 B . 5040种 C . 20160种 D . 2520种

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8. (2020高二上·成都月考) 已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为椭圆的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线上的一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知数列 $\text{[math]}$ 均为递增数列， $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知等差数列 $\text{[math]}$ ，其前n项的和为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 数列| $\text{[math]}$ 为等差数列 B . 数列 $\text{[math]}$ 为等比数列 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 是双曲线C： $\text{[math]}$ 的上､下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有（）

A . 双曲线C的渐近线方程为 $\text{[math]}$ B . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆方程为 $\text{[math]}$ C . 点M的横坐标为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$

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12. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D，E，F分别为AC， $\text{[math]}$ ，AB的中点．则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与EF相交 B . $\text{[math]}$ 平面DEF C . EF与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到平面DEF的距离为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A类药，2盒B类药，1盒C类药，若每天只能检测1盒药品，且C类药不在第1天或第6天检测，3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测，则不同的检测方案的个数是.

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14. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则此三棱锥的外接球的表面积为

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15. 无穷数列 $\text{[math]}$ 满足：只要 $\text{[math]}$ ，必有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为“和谐递进数列”．已知 $\text{[math]}$ 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2020高三上·海淀期末) 已知曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）.
（i）给出下列结论：

①曲线 $\text{[math]}$ 为中心对称图形；

②曲线 $\text{[math]}$ 为轴对称图形；

③当 $\text{[math]}$ 时，若点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .

其中，所有正确结论的序号是.

（ii）当 $\text{[math]}$ 时，若曲线 $\text{[math]}$ 所围成的区域的面积小于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值可以是.（写出一个即可）

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四、解答题

17. 用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．
1. （1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
2. （2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、432等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．
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18. (2020高二上·佛山期中) 已知直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点坐标；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点，且在 $\text{[math]}$ 轴上的截距是在 $\text{[math]}$ 轴上的截距的2倍，求 $\text{[math]}$ 的方程．
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19. (2020高三上·德州期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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20. 如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 和侧面 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 点是线段 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在线段出上且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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21. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，并求出数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .问是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成等差数列？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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22. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，短轴长为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上（异于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ），求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）过点 $\text{[math]}$ 作一条直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ .试问：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.
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