江苏省南京师大附中2017年高考数学一模试卷

更新时间：2017-11-22 浏览次数：1141 类型：高考模拟

一、<b >填空题</b>

1. 已知A={1，2，3}，B={x|x²＜9}，则A∩B=．

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2. 已知复数z= $\text{[math]}$ （a∈R），i是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是．

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3. 如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是．

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4. 从2，3，4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是．

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5. 随机抽取年龄在[10，20），[20，30）…[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的頻数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[50，60]年龄段应抽取人数为．

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6. 双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点到其渐近线的距离是．

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7. 若函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，则实数a的值为．

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8. 立方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，棱长为3，P为BB₁的中点，则四棱锥P﹣AA₁C₁C的体积为．

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9. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2， $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =﹣3，则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =．

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10. 集合L={l|l与直线y=x相交，且以交点的横坐标为斜率}．若直线l′∈L，点P（﹣1，2）到直线l′的最短距离为r，则以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为．

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11. 设数列{a_n}的前n项的和为S_n ，且a_n=4 $\text{[math]}$ ，若对于任意的n∈N*，都有1≤x（S_n﹣4n）≤3恒成立，则实数x的取值范围是．

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12. 在△ABC中，已知sinA=13sinBsinC，cosA=13cosBcosC，则tanA+tanB+tanC的值为．

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13. 设直线l与曲线C₁：y=e^x和曲线C₂：y=﹣ $\text{[math]}$ 均相切，切点分别为A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），则y₁y₂=．

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14. 函数f（x）= $\text{[math]}$ 其中t＞0，若函数g（x）=f[f（x）﹣1]有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．

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二、<b >解答题</b>

15. 已知△ABC是锐角三角形，向量 $\text{[math]}$ =（cos（A+ $\text{[math]}$ ），sin（A+ $\text{[math]}$ ））， $\text{[math]}$ =（cosB，sinB），且 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求A﹣B的值；
（Ⅱ）若cosB= $\text{[math]}$ ，AC=8，求BC的长．

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16. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．
1. （1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：
2. （2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．
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17. 小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．
1. （1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
2. （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）
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18. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）．
1. （1）若椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，且点（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，
  ①求椭圆的方程；
  ②设P（﹣1，﹣ $\text{[math]}$ ），R、S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS与y轴和x轴相交于点M，N，求直线MN的方程．
2. （2）设D（b，0），过D点的直线l与椭圆C交于E、F两点，且E、F均在y轴的右侧， $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，求椭圆离心率的取值范围．
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19. 已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x₀ ，使x₀∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]且f（x₀）≤g（x₀）成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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20. 记等差数列{a_n}的前n项和为S_n ．
1. （1）求证：数列{ $\text{[math]}$ }是等差数列；
2. （2）若a₁=1，对任意的n∈N*，n≥2，均有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是公差为1的等差数列，求使 $\text{[math]}$ 为整数的正整数k的取值集合；
3. （3）记b_n=a $\text{[math]}$ （a＞0），求证： $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
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21. 从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y为所组成的三位数各位数字之和．
1. （1）求Y是奇数的概率；
2. （2）求Y的概率分布和数学期望．
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22. 已知数集A={a₁ ， a₂ ， …，a_n}（1=a₁＜a₂＜…＜a_n ， n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得a_k=a_i+a_j成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：a₄≤2a₁+a₂+a₃；
（Ⅲ）若a_n=72，求n的最小值．

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