2017年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）

更新时间：2017-08-31 浏览次数：591 类型：高考模拟

一、选择题

1. 已知 $\text{[math]}$ =（1+i）²（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ i B . ﹣ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i C . $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ i D . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i

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2. 已知全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2^x ， x∈A}，则（∁_UA）∩B=（）

A . （﹣∞，0）∪（3，+∞） B . {x|x＞3，x∈N} C . {4，8} D . [4，8]

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3. 已知 $\text{[math]}$ =（2，1）， $\text{[math]}$ =（﹣1，1），则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影为（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . ﹣ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知S_n是等差数列a_n的前n项和，且S₃=2a₁ ，则下列结论错误的是（）

A . a₄=0 B . S₄=S₃ C . S₇=0 D . a_n是递减数列

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5. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为 $\text{[math]}$ ，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 执行如图的程序框图，则输出的S=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . ﹣ $\text{[math]}$ D . 0

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7. 函数f（x）= $\text{[math]}$ 的图象大致为（）

A . B . C . D .

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，则z=|2x﹣3y+4|的最大值为（）

A . 3 B . 5 C . 6 D . 8

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10. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ﹣y²=1的右焦点是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（）

A . 4 $\text{[math]}$ B . 3 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

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11. 已知f（x）=x²e^x ，若函数g（x）=f²（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）

A . （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B . （2， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） C . （ $\text{[math]}$ ，2） D . （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，+∞）

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12. 已知函数f（x）=（2a﹣1）x﹣ $\text{[math]}$ cos2x﹣a（sinx+cosx）在[0， $\text{[math]}$ ]上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A . （﹣∞， $\text{[math]}$ ] B . [ $\text{[math]}$ ，1] C . [0，+∞） D . [1，+∞）

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二、填空题

13. 已知sin（ $\text{[math]}$ ﹣α）=﹣ $\text{[math]}$ ，0＜α＜π，则sin2α=．

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14. （2x+ $\text{[math]}$ ﹣1）⁵的展开式中常数项是．

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15. 已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD= $\text{[math]}$ ，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．

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16. 已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹﹣2，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n₊₁（n∈N*）．
1. （1）求数列{b_n}的通项公式；
2. （2）若c_n=log₂a_n（n∈N*），求数列{b_n•c_n}的前n项和T_n ．
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18. 某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：
抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
抽奖条件是，顾客购买商品的金额买100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．
1. （1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；
2. （2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖．
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19. 如图（1）在平面六边形ABCDEF，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE= $\text{[math]}$ ，BF=CF= $\text{[math]}$ ，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．
1. （1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；
  结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；
  结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．
2. （2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．
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20.
如图，曲线C由左半椭圆M： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0，x≤0）和圆N：（x﹣2）²+y²=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q（均异于点A，B）分别是M，N上的动点．
1. （1）若|PQ|的最大值为4+ $\text{[math]}$ ，求半椭圆M的方程；
2. （2）若直线PQ过点A，且 $\text{[math]}$ =﹣2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，求半椭圆M的离心率．
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21. 已知函数f（x）=（mx²﹣x+m）e^﹣^x（m∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m＞0时，证明：不等式f（x）≤ $\text{[math]}$ 在（0，1+ $\text{[math]}$ ]上恒成立．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 $\text{[math]}$ （其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠ $\text{[math]}$ ），点A，B（A在x轴下方）是曲线C₁与C₂的两个不同交点．
1. （1）求曲线C₁普通方程和C₂的直角坐标方程；
2. （2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．
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23. 已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m＞0）．
1. （1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；
2. （2）当x∈[m，2m²]时，不等式 $\text{[math]}$ f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．
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