2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷

更新时间：2017-03-10 浏览次数：1031 类型：高考模拟

一、填空题

1. 若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z=．

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2. 抛物线y²=2x的准线方程是．

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3. 若复数z满足 $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则z=．

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4. 已知sin（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，α∈（﹣ $\text{[math]}$ ，0），则tanα=．

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5. 以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是．

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6. 若二项式 $\text{[math]}$ 的展开式共有6项，则此展开式中含x⁴的项的系数是．

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7. 已知向量 $\text{[math]}$ （x，y∈R）， $\text{[math]}$ ，若x²+y²=1，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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8. 已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log₂（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．

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9. 在数列{a_n}中，若对一切n∈N*都有a_n=﹣3a_n₊₁ ，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则a₁的值为．

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10. 甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有．

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11. 已知点O，A，B，F分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若 $\text{[math]}$ ，则实数λ的值为．

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12. 已知 $\text{[math]}$ 为常数）， $\text{[math]}$ ，且当x₁ ， x₂∈[1，4]时，总有f（x₁）≤g（x₂），则实数a的取值范围是．

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二、选择题

13. 若x∈R，则“x＞1”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分也非必要条件

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14. 关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）

A . 若l∥α，α∩β=m，则l∥m B . 若l∥α，m∥α，则l∥m C . 若l⊥α，m∥α，则l⊥m D . 若l∥α，m⊥l，则m⊥α

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15. 在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan∠PAB•tan∠PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数 $\text{[math]}$ 在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数 $\text{[math]}$ 是（0，1）上的“H函数”；②函数 $\text{[math]}$ 是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（）

A . ①和②均为真命题 B . ①为真命题，②为假命题 C . ①为假命题，②为真命题 D . ①和②均为假命题

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三、解答题

17. 在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求三棱锥P﹣ABC的体积；
2. （2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
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18. 已知双曲线C以F₁（﹣2，0）、F₂（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．
1. （1）求双曲线C与其渐近线的方程；
2. （2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且 $\text{[math]}$ （O为坐标原点）．求直线l的方程．
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19. 现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在 $\text{[math]}$ 上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．
1. （1）试求S关于θ的函数关系式；
2. （2）求S的最大值．
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20. 已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．
1. （1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 属于集合M，求实数a的取值范围；
3. （3）若f（x）=2^x+bx² ，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．
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21. 已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n₊₁﹣a_n（n=1，2，3，…）．
1. （1）若b_n=10﹣n，求a₁₆﹣a₅的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 且a₁=1，则数列{a_2n₊₁}中第几项最小？请说明理由；
3. （3）若c_n=a_n+2a_n₊₁（n=1，2，3，…），求证：“数列{a_n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c_n}为等差数列且b_n≤b_n₊₁（n=1，2，3，…）”．
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